Равномерная сходимость функционального ряда

Последовательность функций называется равномерно сходящейся на множестве В, если:

1) Существует предельная функция .

2) Для любого числа можно указать число такое, что при .

В этом случае пишут: .

Функциональный ряд (5) называется сходящимся равномерно на множестве В, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм: , где .

Пример 13. Ряд сходится для всех точек сегмента . Оценим остаток этого ряда . В скобках стоит знакочередующийся ряд с монотонно убывающими членами, причём общий член стремится к нулю при . На основании признака Лейбница, имеем , т.к. . Легко видеть, что каково бы ни было существует число К такое, что при имеет место неравенство (4) для всех точек из сегмента . В качестве числа можно взять любое целое число, большее, чем . Здесь выбранное число , начиная с которого осуществляется неравенство (4), не зависит от точки на сегменте (а зависит только от ). В этом случае говорят, что ряд сходится равномерно на .

Дата добавления: 2014-12-23