Ряды Фурье. Теорема разложения

Если функция кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную в , причём в точках разрыва ,то функция в может быть представлена рядом Фурье:

Если чётная, то

Если нечётная, то

Пример 17. Разложим в ряд Фурье функцию

, (12)

заданную на .

Так как эта функция внутри непрерывна и монотонна, она может быть разложена в ряд Фурье. Вычислим:

Тригонометрическим рядом Фурье функции (12) на является ряд

Сумма ряда во всех точках непрерывности должна с ней совпадать для . Для ,т.е. . Функция должна быть периодической и иметь период . Поэтому аналитически эту функцию можно задать как

Если продолжим функцию с сегмента на всю вещественную ось согласно её аналитическому виду (12), необходимо положить Тогда продолжение с сегмента будет совпадать с функцией

Пример 18. Разложим в ряд функцию

Здесь . Коэффициенты определяется по формуле:

Коэффициенты - по формуле:

в которых надо вместо подставить 2.

Поэтому:

Итак

Но по этой формуле вычислить нельзя, а поэтому следует вычислить непосредственно. Окажется, что =1. Коэффициенты вычисляются с помощью интегрирования по частям:

.

Учтено, что . Подставляя найденные значения коэффициентов , и в ряд Фурье и учитывая, что , получим:

или в развёрнутом виде:

Дата добавления: 2014-12-23