Основные свойства степенных рядов

Степенные ряды. Радиус сходимости ряда и его вычисление

Для каждого степенного ряда

(8)

существует интервал сходимости:

,

внутри которого данный ряд сходится, а вне интервала расходится.

Радиус сходимости можно вычислить по формуле:

, (9)

если этот предел существует.

Также радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле Коши:

. (10)

Пример 16. Пусть задан стенной ряд:

(11)

Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов этого ряда и применим к нему признак Даламбера:

.

Следовательно, ряд (11) сходится абсолютно при или и расходится при или . Ясно, что . Выясним сходимость ряда при и . Подставляя эти значения в ряд (11), получим:

.

Первый из них расходится, второй сходится.

Таким образом, ряд (11) сходится на интервале .

1. Ряд (1) сходится равномерно на каждом интервале строго внутреннем к его интервалу сходимости.

2. Сумма ряда (1) непрерывна в каждой внутренней точке его промежутка сходимости.

3. Ряд (1) можно интегрировать почленно по любому отрезку строго внутреннему к его интервалу сходимости.

4. Ряд (1) можно дифференцировать почленно в любой точке его промежутка сходимости.

Дата добавления: 2014-12-23