Решение. Вычислительный алгоритм динамического программирования процесса поиска максимального дохода двух предприятий предусматривает следующие операции

Вычислительный алгоритм динамического программирования процесса поиска максимального дохода двух предприятий предусматривает следующие операции.

1. По условию задачи период, на который выделено = 1000 единиц денежных средств для получения максимального дохода, равен 4 м годам. Разобьём его на 4 этапа распределения выделенных средств, имеем = 4, = 1, 2, 3, 4.

2. Определение максимального дохода начинаем с 4 го этапа, в начале которого необходимо распределить остаток средств от 3 го этапа: () + () = . Чтобы найти средства и , выделяемые на 4м этапе предприятиями , и при этом получить максимальный доход (), составим функциональное уравнение (2):

() = [ ()+ ()] = [ ()+ ()] = [5 +4(

0≤ ≤ 0≤ ≤ 0≤ ≤

)] = ( +4 ) = 5 .

0≤ ≤

Получили линейную относительно функцию + 4 , которая на отрезке [0; ] принимает максимальное значение () = 5 при = .

Таким образом, максимальный доход на 4 м этапе, равный величине () = 5 , имеет место, если все выделяемые на 4 м этапе средства вложить в предприятие , ничего не оставляя предприятию : = , = 0. Это будет оптимальное распределение средств на начало 4 – го года.

Далее, используя функциональное уравнение (3), последовательно определяем оптимальное распределение средств на 3, 2 и 1 –м этапах.

3. Запишем функциональное уравнение (3) для 3 – го этапа, определяющее максимальный доход при оптимальном распределении средств на 3 – м и 4 – м этапах:

() = [ () + () + ()]. (4)

0≤ ≤

Здесь = + сумма средств, распределяемых между предприятиями и на 3 м этапе, остаток от этих средств к концу 3 го года, который перейдет на начало 4 го года в качестве средств, подлежащих распределению на 4 м этаже.

Находим и средства, выделяемые предприятиям и на 3 ем этапе (оптимальное управление на 3-м этапе), обеспечивающие прибыль (. Подставляя в (4) выражения для (), (), (), получим:

() = {5 +4() + 5[0,3 +0,5() 6,5 = 6,5 .

0≤ ≤ 0≤ Видно, что максимальный доход ( = 6,5 3 го и 4 го

0 ≤

этапов не зависит от средств , поэтому средства выделяемые предприятиям и на 3 м этаже, можно распределить между предприятиями и любым способом в пределах суммы ,

4. Запишем для 2 го этапа функциональное уравнение (3), определяющее максимальный доход, получаемый от оптимального управления распределением средств на 2 м, 3 м и 4 м этапах:

() = [ () + () + ()] = {5 +4()+ 6,5[0,3 +

0≤ ≤ 0≤ ≤

+0,5( + )]} = (7,25 0,3 ) = 7,25 при = 0,

0≤ ≤

Таким образом, для получения максимального дохода при совместной работе двух предприятий на 2 м, 3 м и 4 м этапах необходимо на 2 м этапе выполнить оптимальное управление: все оставшиеся после 1 го этапа средства вложить в предприятие .

5. Наконец, составляем функциональное уравнение (3) для 1 го этапа и находим оптимальное управление на 1 м этапе и соответствующий ему максимальный доход при совместной работе предприятий и на протяжении всего планируемого периода 4 го,3 го, 2 го и 1 го года:

( = ) = [ () + () + ()] = {5 +4() +

0≤ ≤ 0≤ ≤

+7,25[0,3 +0,5( )]} = (7,625 0,45 )= 7,625 (5)

0≤ ≤

Решение уравнения (5) основано на выборе оптимального управления: исследуемая функция достигает максимального значения на отрезке [0; ] при = 0.

Таким образом, на 1 м этапе оптимальное управление будет заключаться в том, чтобы все выделенные средства на работу предприятий и на протяжении 4 х лет на первом году их работы вложить только в предприятие : = Остаток от этих средств к концу 1 го года в дальнейшем использовать для перераспределения между предприятиями и в начале 2 го года.

Выводы

1. Оптимальное управление процесс распределения средств на основе принципа оптимальности Беллмана состоит в следующем. На первом этапе все выделенные предприятиям и средства выгодно вложить только в предприятие : = = 1000. К концу 1 го года работы остаток средств () = 0,5 = 500 вложить также только в предприятие . Полученный остаток () = 0,5 = =250 произвольно распределить между предприятиями и в начале 3 го года. Остаток средств () + () = 0,3 + 0,5 к концу 3 го года, который перейдет на 4 й год, отдать 1 му предприятию: = 0,3 + 0,5 .

2. Максимальный доход двух предприятий и за 4 летний период их работы составит:

() = 7,625 = 7,625

3. Результаты оптимального управления процессом распределения средств = + между предприятиями и представлены в таблице.

Таблица

Оптимальное распределение средств между предприятиями и

Этапы,	Распределение средства на начало –го этапа	Оптимальное уравнение	Доход по годам
	=	Предпр. ()=5	Предпр. ()=4
= ()+ ()
		0;250]	{250 [0;250]}	0÷1250	1000÷0
=4	125÷75	125÷75		625÷375

Дата добавления: 2014-12-24