Математика

Федеральный компонент

Общие математические и естественнонаучные дисциплины

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста.

Основные цели дисциплины – развитие у студентов навыков математического мышления; навыков использования математических методов и основ математического моделирования; математической культуры.

Задачи дисциплины:

– научить студентов использовать в своей практической деятельности математические и экономико-математические методы и модели;

– привить студентам навыки самостоятельного математического анализа сложных социально-экономических процессов.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Математика» студент должен:

· знать:

– основы линейной алгебры и аналитической геометрии;

– основы математического анализа;

– основы теории дифференциальных уравнений;

– основы теории вероятностей и математической статистики;

– существующие экономико-математические методы и модели, применяемые при анализе, планировании и прогнозировании экономических процессов;

– основные принципы и этапы построения экономико-математических моделей;

· уметь:

– решать задачи, примеры и выполнять расчетно-графические работы с помощью теорем, персональных компьютеров, таблиц и справочников;

– самостоятельно разбираться в математическом аппарате, содержащемся в литературе по специальности;

– перевести экономическую задачу на математический язык;

– решать экономические задачи с использованием математического аппарата;

– анализировать и прогнозировать экономические процессы, опираясь на результаты, полученные путем математического моделирования;

· получить навыки:

– в решении оптимизационных задач;

– в постановке и решении задач экономико-математического содержания.

ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ

№ п/п	Наименование темы	Объем аудиторных занятий (в часах)	Объем сам. раб. студентов (в час.)
лекции	лаб. раб.	пр. зан.	сем. зан.	итого
Раздел 1: Аналитическая геометрия и линейная алгебра
1.	Введение. Определители и матрицы		-		-
2.	Системы линейных алгебраических уравнений		-		-
3.	Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии		-		-
4.	Элементы линейной алгебры		-		-
Раздел 2: Математический анализ и дифференциальные уравнения
5.	Введение в анализ		-		-
6.	Дифференциальное исчисление функции одной переменной		-		-
7.	Интегральное исчисление функции одной переменной		-		-
8.	Дифференциальные уравнения		-		-
9.	Функции нескольких переменных		-		-
10.	Последовательности и ряды		-		-
Раздел 3: Вероятность и статистика
11.	Теория вероятностей		-		-
12.	Математическая статистика		-		-
Раздел 4: Экономико-математические методы и модели
13.	Линейное программирование		-		-
14.	Модели нелинейного программирования		-		-
15.	Элементы теории игр		-		-
16.	Основы теории графов		-		-
17.	Элементы теории массового обслуживания и экономико-математические модели		-		-
	Всего:		-		-
	Формы итогового контроля:	Курс. работа (проект)	Контр. работа	Зачет	Экзамен
	Семестры:	-	-	1-4	1-4
Для заочной формы обучения
	Всего:		-		-
	Формы итогового контроля:	Курс. работа (проект)	Контр. работа	Зачет	Экзамен
	Семестры:	-	1-4	1-4	1-4

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Раздел 1: Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Введение

Основные этапы развития математики и структура современной математики. Основные черты математического мышления. Аксиоматический подход.

Тема 1. Определители и матрицы

Матрицы, операции над матрицами. Определители и их свойства. Ранг матрицы, обратная матрица.

Практическое занятие 1:

Действия над матрицами.

Практическое занятие 2:

Вычисление определителей.

Практическое занятие 3:

Нахождение обратной матрицы, ранга матрицы.

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных алгебраических уравнений, их решение по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Практическое занятие 1:

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Практическое занятие 2:

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическое занятие 3:

Контрольная работа №1. Действия над матрицами, вычисления определителей, решение систем линейных уравнений.

Тема 3. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Скалярный и векторные величины. Линейные операции над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Векторный анализ и элементы теории поля. Простейшие задачи аналитической геометрии. Системы координат на плоскости. Преобразование координат. Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Геометрический смысл линейных неравенств и их систем. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве.

Практическое занятие 1:

Решение простейших задач аналитической геометрии: нахождение расстояния между точками, деление отрезка в заданном отношении.

Практическое занятие 2:

Решение задач векторной алгебры: линейные операции над векторами, скалярное произведение векторов, нахождение углов, условие ортогональности векторов.

Практическое занятие 3:

Решение задач векторной алгебры: векторное и смешанное произведение векторов, нахождение площадей и объемов, условия коллинеарности и компланарности векторов.

Практическое занятие 4:

Прямая на плоскости: использование различных видов ее уравнений, нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости, нахождение угла между прямыми на плоскости.

Практическое занятие 5:

Плоскость в пространстве: использование различных видов ее уравнений, нахождение расстояния от точки до плоскости.

Практическое занятие 6:

Прямая в пространстве: общие, канонические и параметрические уравнения. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Нахождение расстояния от точки до прямой в пространстве. Выдача расчетно-графической работы (РГР) №1.

Практическое занятие 7:

Контрольная работа №2: решение задач векторной алгебры и аналитической геометрии.

Тема 4. Элементы линейной алгебры

Понятие линейного (векторного) пространства. Базис и размерность. Евклидово пространство. Переход к новому базису. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Линейные и квадратичные формы. Линейная модель обмена.

Практическое занятие 1:

Переход к новому базису. Разложение вектора по базису.

Практическое занятие 2:

Процесс ортогонализации векторов.

Практическое занятие 3:

Нахождение собственных чисел и собственных векторов.

Практическое занятие 4:

Контрольная работа №3: ортогонализация векторов, нахождение собственных чисел и собственных векторов линейных операторов.

Практическое занятие 5:

Квадратичные формы.

Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения

Тема 5: Введение в анализ

Элементы теории множеств. Комплексные числа, изображение их на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи. Основные действия над комплексными числами. Формула Муавра. Функции комплексного переменного. Предел последовательности и его свойства. Функция, область ее определения, способы задания. Сложные и обратные функции. Предел функции, основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции. Непрерывность функции, точки разрыва. Применение функции в экономике. Интерполирование функций. Асимптоты.

Практическое занятие 1:

Действия над комплексными числами, формула Муавра.

Практическое занятие 2:

Вычисление пределов.

Практическое занятие 3:

Вычисление пределов. Нахождение асимптот.

Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее экономический смысл. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Дифференциал функции, его свойства. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Представление функций exp(x), sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)m по формуле Тейлора. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя. Признаки монотонности функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Признаки вогнутости и выпуклости графиков функции, точки перегиба.

Практическое занятие 1:

Дифференцирование сложных функций.

Практическое занятие 2:

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Практическое занятие 3:

Контрольная работа №4: вычисление пределов, нахождение производных.

Практическое занятие 4:

Построение графиков функций. Выдача РГР №2.

Тема 7: Интегральное исчисление функции одной переменной

Первообразная. Неопределенный интеграл его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменных, интегрирование по частям. Интегральная сумма. Определенный интеграл, его экономический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определенного интеграла. Использование понятия определенного интеграла в экономике.

Практическое занятие 1:

Вычисление неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования, интегрированием по частям, методом замены переменной.

Практическое занятие 2:

Вычисление определенных интегралов, их геометрические приложения.

Практическое занятие 3:

Вычисление несобственных интегралов.

Тема 8. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее, частное и особые решения, геометрический смысл. Задача Коши, теорема о существовании и единственности решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения II-го порядка, приводимые к уравнениям I-го порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, структура их решений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами II-го порядка и правой частью специального вида. Системы линейных дифференциальных уравнений I-го порядка с постоянными коэффициентами.

Практическое занятие 1:

Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

Практическое занятие 2:

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Практическое занятие 3:

Контрольная работа №5: вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений.

Тема 9. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных, основные понятия. Предел и непрерывность. Частные производные и полный дифференциал. Экстремумы функций нескольких переменных: локальный, глобальный и условный. Примеры применений при поиске оптимальных решений. Элементы функционального анализа. Функции нескольких переменных в экономической теории. Понятие двойного интеграла: определение, основные свойства, вычисление.

Практическое занятие 1:

Нахождение частных производных, производной по направлению, градиента.

Практическое занятие 2:

Нахождение экстремумов функции двух переменных, наименьшего и наибольшего значений функции в замкнутой области.

Практическое занятие 3:

Вычисление двойных интегралов.

Тема10. Последовательности и ряды

Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости для рядов с положительными членами. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Область сходимости степенного ряда. Ряд Маклорена. Численные методы. Гармонический анализ.

Практическое занятие 1:

Исследование числовых рядов на сходимость.

Практическое занятие 2:

Нахождение области сходимости степенного ряда.

Раздел 3: Вероятность и статистика

Тема 11. Теория вероятностей

Случайные события, основные понятия, алгебра событий. Частота и вероятность. Статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое определения вероятности. Элементарная теория вероятностей. Основные формулы для вычисления вероятностей. Схема событий Бернулли. Формула полной вероятности. Случайные величины, их законы распределения: ряд распределения, плотность распределения, функция распределения. Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Основные законы распределения. Нормальный закон распределения. Основные законы распределения. Предельные теоремы. Приложение теории вероятностей к обработке результатов измерений (вероятность попадания в заданный интервал). Многомерные случайные величины и их числовые характеристики. Корреляционный момент. Линейная регрессия.

Практическое занятие 1:

Элементы комбинаторики: метод сложения и умножения, использование основных формул комбинаторики при вычислении вероятностей событий.

Практическое занятие 2:

Классическая и геометрическая формулы вероятности. Вычисление вероятности сложных событий.

Практическое занятие 3:

Вычисление вероятности событий в случае повторения испытаний и по формуле полной вероятности.

Практическое занятие 4:

Нахождение законов распределения дискретных случайных величин и их числовых характеристик.

Практическое занятие 5:

Нахождение законов распределения непрерывных случайных величин, вычисление их числовых характеристик.

Практическое занятие 6:

Вычисление вероятности попадания случайной величины на промежуток.

Практическое занятие 7:

Контрольная работа №6: вычисление вероятности событий, нахождение законов распределения случайных величин и вычисление их числовых характеристик.

Практическое занятие 8:

Вычисление числовых характеристик дискретной системы двух случайных величин, вычисление числовых характеристик непрерывной системы двух случайных величин.

Практическое занятие 9:

Использование предельных теорем при решении задач. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Практическое занятие 10:

Цепи Маркова. Вычисление переходных вероятностей.

Тема 12. Математическая статистика

Основные задачи математической статистики. Случайные процессы. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд, гистограмма статистическое среднее и дисперсия. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия. Статистическое оценивание и проверка гипотез. Критерии согласия. Метод наименьших квадратов. Корреляция и регрессия. Однофакторный дисперсионный анализ. Метод статистических испытаний.

Практическое занятие 1:

Выборка из генеральных совокупностей. Вычисление числовых характеристик выборки.

Практическое занятие 2:

Вычисление точечных оценок параметров распределения. Условные варианты. Метод произведения.

Практическое занятие 3:

Интервальные оценки параметров распределения. Нахождение доверительных интервалов.

Практическое занятие 4:

Статистические методы обработки экспериментальных данных. Метод наибольшего правдоподобия.

Практическое занятие 5:

Нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии. Выдача РГР №3.

Практическое занятие 6:

Статистическая проверка статистических гипотез.

Практическое занятие 7:

Проверка гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Выдача РГР №4.

Практическое занятие 8:

Однофакторный дисперсионный анализ.

Раздел 4: Экономико-математические методы и модели

Тема 13. Линейное программирование

Общая и каноническая задачи линейного программирования. Свойства задачи ЛП. Графический метод и симплекс - метод решения задач линейного программирования. Двойственные задачи. Транспортная задача. Целочисленное программирование: методы отсечения, метод Гомори, понятия о методе ветвей и границ.

Практическое занятие 1:

Решение задач линейного программирования геометрическим методом.

Практическое занятие 2:

Решение задач линейного программирования симплексным методом.

Практическое занятие 3:

Решение задач линейного программирования с использованием теорем двойственности.

Практическое занятие 4:

Решение транспортных задач.

Практическое занятие 5:

Решение задач целочисленного программирования.

Практическое занятие 6:

Контрольная работа №7: Решение задач линейного программирования

Тема 14. Модели нелинейного программирования

Задача выпуклого программирования. Приближенное решение задач выпуклого программирования методом кусочно-линейной аппроксимации. Методы спуска. Приближенное решение задач выпуклого программирования градиентным методом. Динамическое программирование: принцип оптимальности, рекуррентные соотношения Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Математическая теория оптимального управления.

Практическое занятие 1:

Решение задач выпуклого программирования.

Практическое занятие 2:

Решение задач не линейного программирования градиентным методом

Практическое занятие 3:

Нахождение оптимального распределения средств между предприятиями.

Практическое занятие 4:

Нахождение оптимального распределения ресурсов между отраслями.

Тема 15. Элементы теории игр

Понятие об игровых моделях. Матричные игры. Платежная матрица. Критерий оптимальности стратегий. Решение игр в смешанных стратегиях. Графический метод решения игр 2 x 2, 2 x n, m x 2. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования. Кооперативные игры. Игры с природой.

Практическое занятие 1:

Решение матричных игр аналитическим и геометрическим способами.

Практическое занятие 2:

Решение кооперативных игр и игр с природой. Выдача РГР №5.

Тема 16. Основы теории графов

Основные понятия и определения теории графов. Плоские графы, эйлеровы графы, гамильтоновы графы, орграфы. Операции над графами. Изоморфизм. Матричное представление графов. Задачи о кратчайших путях. Алгоритм Дейкстры. Сетевые графики. Сети Петри. Теорема и алгоритм Форда-Фалкерсона.

Практическое занятие 1:

Нахождение кратчайшего пути.

Практическое занятие 2:

Нахождение максимального потока.

Тема 17. Элементы теории массового обслуживания и экономико-математические модели

Системы массового обслуживания (СМО) и их классификация. Марковские процессы. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний. Процесс гибели и размножения. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания. СМО с отказами, задача Эрланга. СМО с ожиданием. Понятие о статистическом моделировании СМО. Экономико-математические модели: функции полезности, кривые безразличия, функции спроса; уравнение Слуцкого; кривые «доход – потребление», «цены – потребление»; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции, производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирм в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.

Практическое занятие 1:

Нахождение предельных вероятностей.

Практическое занятие 2:

Расчет характеристик и показателей эффективности систем массового обслуживания.

Практическое занятие 3:

Алгебраические модели. Балансовый анализ.

Практическое занятие 4:

Дифференциальные модели. Модель Солоу. Зачет.

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА

Самостоятельная работа студентов по дисциплине включает:

– самостоятельное изучение теоретических разделов дисциплины по заданию лектора;

– повторение и углубленное изучение лекционного материала;

– решение практических задач и подготовку к практическим занятиям;

– выполнение расчетно-графических работ;

– выполнение контрольных работ;

– подготовку к зачету и экзамену.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

(для студентов заочного обучения)

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.

3. Теория вероятностей и математическая статистика.

4. Экономико-математические методы и модели.

ФОРМЫ И ВИДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

1. Текущий контроль:

– опрос на практических занятиях;

– проверка выполнения контрольных заданий и задач;

– защита контрольных работ;

– рубежный контроль.

2. Промежуточная аттестация – зачетно-экзаменационная сессия:

– зачет – по результатам проведения всех форм текущего контроля в соответствии с учебным планом;

– экзамен проводится в устной или письменной форме при условии выполнения всех форм текущего контроля и в соответствии с учебным планом.

3. Контроль остаточных знаний студентов (тесты).

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1 семестр

1. Матрицы, основные понятия.

2. Алгебра матриц.

3. Определитель матрицы.

4. Вычисление определителей второго и третьего порядка.

5. Теорема разложения.

6. Свойства определителей.

7. Обратная матрица.

8. Ранг матрицы.

9. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

10. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

11. Формулы Крамера.

12. Метод Гаусса.

13. Системы m линейных уравнений с n переменными, базисные допустимые решения.

14. Системы линейных однородных уравнений, свойства их решений.

15. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

16. Линейные операции над векторами.

17. Проекции вектора на ось, теоремы о проекциях

18. Координаты вектора в пространстве, выражение линейных операций в координатной форме.

19. Модуль вектора, и его направляющие косинусы.

20. Разложение вектора по координатному базису.

21. Скалярное произведение векторов, его свойства

22. Выражение скалярного произведения через координаты векторов

23. Векторное произведение векторов и его свойства.

24. Выражение векторного произведения через координаты векторов.

25. Смешанное произведение трех векторов.

26. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.

27. Условия перпендикулярности, коллинеарности, компланарности векторов.

28. Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении).

29. Общее уравнение прямой на плоскости, его частные случаи.

30. Угловой коэффициент прямой.

31. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

32. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

33. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

34. Уравнение прямой в отрезках на осях.

35. Угол между прямыми на плоскости, условия перпендикулярности и параллельности прямых.

36. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

37. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

38. Общее уравнение плоскости в пространстве, его частные случаи.

39. Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки.

40. Угол между плоскостями, условия перпендикулярности и параллельности плоскостей.

41. Расстояние от точки до плоскости.

42. Общие уравнения прямой в пространстве

43. Канонические уравнения прямой в пространстве.

44. Параметрические уравнения прямой в пространстве

45. Угол между прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности.

46. Угол между прямой и плоскостью, условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

47. Геометрический смысл линейных уравнений и неравенств.

48. Линейное (векторное) пространство.

49. Линейная зависимость векторов.

50. Размерность и базис векторного пространства.

51. Разложение вектора по базису.

52. Переход к новому базису.

53. Евклидово пространство.

54. Ортонормированный базис.

55. Процесс ортогонализации векторов.

56. Линейные операторы.

57. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

58. Линейные преобразования.

59. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

60. Преобразование матрицы линейного оператора к диагональному виду.

61. Квадратичные формы.

62. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

63. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

64. Линейная модель обмена.

2 семестр

1. Основные понятия теории множеств.

2. Операции над множествами.

3. Комплексные числа, действия над ними.

4. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел, и х геометрическая интерпретация.

5. Функция, область ее определения, способы задания.

6. Сложные и обратные функции.

7. Предел функции.

8. Бесконечно малые функции, их свойства.

9. Бесконечно большие функции.

10. Сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность.

11. Основные теоремы о пределах.

12. Замечательные пределы.

13. Раскрытие неопределенности.

14. Непрерывность функции.

15. Точки разрыва, их классификация.

16. Асимптоты.

17. Производная, ее геометрический, физический, экономический смысл.

18. Правила дифференцирования.

19. Производные основных элементарных функций.

20. Дифференцирование сложных функций.

21. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

22. Дифференциал функции, его свойства.

23. Производные и дифференциалы высших порядков.

24. Теорема Ферма.

25. Теоремы Ролля, Лагранжа.

26. Правило Лопиталя.

27. Признаки монотонности функции.

28. Экстремумы (локальные) функции.

29. Наибольшее и наименьшее значения функции.

30. Признаки вогнутости и выпуклости графиков функции, точки перегиба.

31. Формула Тейлора.

32. Неопределенный интеграл, его свойства.

33. Основная таблица интегралов.

34. Метод непосредственного интегрирования.

35. Интегрирование по частям.

36. Замена переменной в неопределенном интеграле.

37. Интегральная сумма, определенный интеграл, его геометрический смысл.

38. Свойства определенного интеграла.

39. Формула Ньютона-Лейбница.

40. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

41. Несобственные интегралы.

42. Числовые ряды, необходимый признак сходимости.

43. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

44. Признак Лейбница.

45. Абсолютная сходимость.

46. Степенные ряды, их образ сходимости.

47. Ряды Маклорена.

48. Дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение.

49. Задача Коши, теорема существования единственности решения задачи Коши.

50. Приближенные методы решения задачи Коши.

51. Уравнения с разделяющимися переменными.

52. Линейные уравнения первого порядка.

53. Дифференциальные уравнения высших порядков, их общее и частное решения, задача Коши.

54. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, структура их решения.

55. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

56. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.

57. Определение функций нескольких переменных, геометрическая интерпретация в возможных случаях. Предел и непрерывность.

58. Частное и полное приращение функции.

59. Частные производные.

60. Полный дифференциал.

61. Производная по направлению.

62. Градиент.

63. Локальный экстремум.

64. Абсолютный экстремум.

65. Условный экстремум.

66. Определение двойного интеграла, его основные свойства.

67. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

68. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

3 семестр

1. Случайные события, алгебра событий.

2. Относительная частота, статистическое определение вероятности.

3. Классическое определение вероятности.

4. Геометрическое определение вероятности, задача о встрече.

5. Аксиоматическое определение вероятности

6. Формулы комбинаторики.

7. Теоремы сложения.

8. Независимые события, теоремы умножения.

9. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

10. Наивероятнейшее число событий.

11. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

12. Случайные величины.

13. Функция распределения (интегральный закон распределения).

14. Плотность распределения (дифференциальный закон распределения).

15. Математическое ожидание, его свойства.

16. Дисперсия, ее свойства, среднее квадратическое отклонение.

17. Мода и медиана.

18. Моменты случайных величин.

19. Производящая функция.

20. Асимметрия и эксцесс.

21. Биномиальное распределение.

22. Геометрическое распределение.

23. Распределение Пуассона.

24. Гипергеометрическое распределение.

25. Равномерное распределение.

26. Показательное распределение.

27. Нормальное распределение.

28. Вероятность попадания на отрезок.

29. Правило "трех сигм".

30. Системы случайных величин.

31. Законы распределения системы двух случайных величин.

32. Условные законы распределения.

33. Зависимые и независимые случайные величины.

34. Числовые характеристики системы двух случайных величин.

35. Регрессия

36. Коэффициент корреляции.

37. Двумерная нормальная случайная величина.

38. Законы больших чисел.

39. Предельные теоремы.

40. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

41. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

42. Основные понятия математической статистики.

43. Оценка числовых характеристик случайных величин.

44. Оценка математического ожидания и дисперсии, их свойства.

45. Оценка функции распределения.

46. Оценка функции плотности.

47. Метод моментов.

48. Метод максимального правдоподобия.

49. Метод наименьших квадратов.

50. Интервальные оценки.

51. Интервальные оценки параметров нормального распределения.

52. Основные понятия проверки гипотез.

53. Гипотезы о параметрах нормального распределения.

54. Критерии согласия.

55. Однофакторный дисперсионный анализ.

56. Парная корреляция.

57. Анализ парной корреляции.

58. Парная линейная регрессия.

4 семестр

1. Общая и каноническая задачи линейного программирования.

2. Выпуклые множества в n-мерном пространстве.

3. Свойства задачи линейного программирования.

4. Геометрический метод решения задач линейного программирования.

5. Симплексный метод, его геометрическая интерпретация.

6. Определение первоначального допустимого базисного решения.

7. Проверка допустимого базисного решения на оптимальность.

8. Переход к новому допустимому базиса решения с помощью симплексного метода.

9. Особые случаи симплексного метода.

10. Метод искусственного базиса

11. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства.

12. Основные теоремы двойственности.

13. Объективно обусловленные оценки и их смысл.

14. Экономико-математическая модель транспортной задачи.

15. Нахождение первоначального базисного распределения поставок.

16. Критерий оптимальности базисного распределения поставок.

17. Распределительный метод решения транспортной задачи.

18. Открытая модель транспортной задачи.

19. Вырождение в транспортных задачах.

20. Постановка задачи целочисленного программирования.

21. Методы отсечения. Метод Гомори.

22. Метод ветвей и границ.

23. Общая постановка задачи нелинейного программирования.

24. Классические методы оптимизации.

25. Выпуклые функции и их свойства.

26. Задача выпуклого программирования.

27. Градиентный метод.

28. Общая постановка задач динамического программирования.

29. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.

30. Задача о распределении средств между предприятиями.

31. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет.

32. Задача о замене оборудования.

33. Понятие об игровых моделях.

34. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры.

35. Решение игры в смешанных стратегиях.

36. Геометрическая интерпретация игры 2´2.

37. Геометрическая интерпретация задачи 2´n и n´2.

38. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.

39. Графический метод оптимизации стратегической игры.

40. Стохастичность теории игр.

41. Матрицы рисков.

42. Вероятностный подход и критерий Вальда.

43. Критерии Сэвиджа и Гурвица.

44. Кооперативные игры.

45. Основные понятия теории графов.

46. Маршруты и связность.

47. Эйлеровы и гамильтоновые графы.

48. Операции над графами. Изоморфизм.

49. Матричное представление графов.

50. Задачи о кратчайших путях между вершинами.

51. Алгоритм Дейкстры.

52. Транспортные сети. Теорема Форда-Фалкерсона.

53. Задача о максимальном потоке. Алгоритм Форда-Фалкерсона.

54. СМО, основные понятия и классификация.

55. Марковские случайные процессы.

56. Уравнения Колмогорова.

57. Предельные вероятности.

58. Схема гибели и размножение.

59. Основные понятия теории массового обслуживания.

60. СМО с отказами.

61. СМО с очередями.

62. Функции полезности, спроса. Уравнение Слуцкого.

63. Функции выпуска продукции и затрат ресурсов.

64. Модели общего экономического равновесия.

65. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.

66. Общие модели развития. Модель Солоу.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2006.

2. Исследование операций в экономике: учеб. пособие / под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи: ЮНИТИ, 2005.

3. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ, 2006.

4. Практикум по высшей математике для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.

Дополнительная:

1. Вентцель, Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология: учеб. пособие / Е. С. Вентцель. – М.: Дрофа, 2004.

2. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2006.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003.

4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. – М.: Оникс 21 век, 2005.

5. Кропачева, Н. Ю. Элементы теории вероятностей: метод. указ. по изучению курса / Н. Ю. Кропачева, Г. А. Петросян. – СПб.: СПбГАСЭ, 2003.

6. Никитин, С. И. Кратные интегралы: метод. указ. по изучению курса / С. И. Никитин. – СПб.: СПбГАСЭ, 2002.

7. Сборник заданий по математике: метод. указ. по выполнению контрольной работы / сост. С. И. Никитин, А. Л. Пирозерский, Н. Ю. Кропачева, М. Ю. Никанорова. - СПб.: СПбГУСЭ, 2006.

8. Никитин, С. И. Элементы дискретной математике и теории игр: учеб. пособие / С. И. Никитин, Н. А. Серебрянская. – СПб.: СПбГУСЭ, 2006.

9. Пирозерская, Л. П. Числовые ряды: метод. указ. по изучению курса / Л. П. Пирозерская. – СПб.: СПбГАСЭ, 2003.

10. Пирозерская, Л. П. Дифференциальные уравнения: метод. указ. по изучению курса / Л. П. Пирозерская, А. Л. Пирозерский. – СПб.: СПбГАСЭ, 2002.

11. Пирозерская, Л. П. Функциональные ряды: метод. указ. по изучению курса / Л. П. Пирозерская, Г. В. Шабанов. – СПб.: СПбГАСЭ, 2003.

12. Пирозерский, А. Л. Введение в математический анализ: учеб. пособие / А. Л. Пирозерский, А. В. Арефьев. – СПб.: СПбГАСЭ, 2003.

13. Пирозерский А.Л. Математика. Основы дискретной математики: метод. указ. по изучению курса / А. Л. Пирозерский, Л. П. Пирозерская. – СПб.: СПбГАСЭ, 2004.

14. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2003.

15. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. Ч. 2 / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2005.

16. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2006.

17. Просветов, Г. И. Математические методы в экономике: учеб.-метод. пособие / Г. И. Просветов. – М.: РДЛ, 2005.

18. Розен, В. В. Математические модели принятия решений в экономике: учеб. пособие / В. В. Розен. – М.: Высшая школа, 2002.

19. Серебрянская, Н. А. Элементы линейной алгебры: метод. указ. по изучению курса / Н. А. Серебрянская. – СПб.: СПбГАСЭ, 2003.

20. Соколова, А. В. Функции нескольких переменных: метод. указ. по изучению курса / А. В. Соколова. – СПб.: СПбГИСЭ, 2001.

Составители: к.ф.-м.н., доц. В.К. Каракадько, к.ф.-м.н., проф. С.И. Никитин кафедры «Прикладная математика и эконометрика».

Рецензент: д.ф.-м.н., проф. кафедры «Прикладная математика и эконометрика» А.И. Шерстюк.

Дата добавления: 2014-12-24