Определение параметров нелинейной модели диода

Упрощенная статическая (для режима постоянного тока) нелинейная модель полупроводникового диода приведена на рис. 3.

Рис. 3. Упрощенная статическая нелинейная модель полупровод-никового диода (направления токов показаны для прямого включения)

Параметрами модели являются объемное сопротивление полупроводниковых областей диода (так называемое сопротивление базы r _б), сопротивление утечки p-n- перехода r _ут (данный параметр аналогичен описанному выше параметру r _ут для кусочно-линейной модели диода) и ток p-n- перехода I_p-n, зависящий от напряжения на этом переходе U_p-n. Данная зависимость описывается нелинейным уравнением

(2)

где I_s – тепловой ток насыщения p-n- перехода, неизменный для данной температуры; m – коэффициент, определяемый свойствами конкретного p-n- перехода (его значения изменяются от 1 до нескольких единиц); φ_т – тепловой (температурный) потенциал. Зависимость φ_т от температуры описывается выражением

где k = 1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура, К; е = 1,6·10^-19 Кл – заряд электрона.

При нормальной температуре (T = 300 К) φ_т ≈ 0,026 В.

Таким образом, нашей задачей является определение неизвестных пока параметров нелинейной модели диода r _б, r _ут, I_s и m.

Сопротивление утечки r _ут определяется так же, как и для кусочно-линейной модели диода.

Параметры r _б и m определяются по прямой ветви ВАХ с помощью так называемого метода выравнивания характеристик. Суть метода заключается в том, что нелинейная зависимость I = f (U), описываемая нелинейным уравнением, заменяется эквивалентной линейной зависимостью в новой системе координат (назовем их условно x и y). Эта эквивалентная зависимость описывается классическим уравнением прямой y = b + kx с легко определяемыми параметрами b и k. Найдя эти параметры, можно перейти к исходному нелинейному уравнению и определить его коэффициенты.

Проиллюстрируем данный метод на примере – найдем параметры нелинейной модели диода (рис. 3), прямая ветвь ВАХ которого представлена на рис. 4.

Рис. 4. К определению параметров нелинейной модели диода по прямой ветви его вольт-амперной характеристики

Уравнение (2) можно переписать в виде

(3)

С учетом выражения (3) внешнее напряжение на диоде U _д можно связать с его током I _д следующим соотношением:

(4)

Показанное в выражении (4) упрощение возможно лишь в случае включения диода в прямом направлении, когда тепловым током насыщения I_s и током утечки I _ут можно пренебречь по сравнению с током p-n- перехода I_p-n (он превышает их на несколько порядков величины). Поэтому и можно считать, что I _д = I_p-n + I _ут ≈ I_p-n, а I_p-n + I_s ≈ I_p-n ≈ I _д.

Найти параметры r _б и m можно, вспомнив, как определяется понятие дифференциального сопротивления – . Если имеется графическая зависимость I = f (U) (ВАХ), дифференциальное сопротивление можно определить по наклону касательной, проведенной к этой ВАХ в какой-либо ее точке. Очевидно, что при нелинейном характере зависимости I = f (U), характерном для диода, значение r _диф будет различно для различных точек этой зависимости.

Найдем выражение для дифференциального сопротивления диода, взяв производную от правой части выражения (4) по току I _д:

(5)

Если представить, что r _диф – это зависимая переменная, а величина – независимая переменная, то графиком функции будет прямая. Действительно, уравнение (5) является по сути уравнением прямой вида y = b + kx, где y = r _диф, , а величины r _б и m φ_т – коэффициенты b и k соответственно. Именно эти коэффициенты мы и будем искать.

Так как графиком функции y = b + kx является прямая, для его построения достаточно найти две принадлежащие этой прямой точки. Отметим на прямой ветви вольт-амперной характеристики диода две произвольные точки 1 и 2 (рис. 4). Для большей точности определения параметров r _б и m φ_т точки следует выбирать на участках ВАХ, имеющих значительно отличающуюся крутизну. Проведем через эти точки две касательные к характеристике. Значения дифференциальных сопротивлений определяются как котангенсы углов наклона этих касательных (при этом необходимо учитывать различие масштабов по осям тока и напряжения), но можно поступить и так, как мы определяли r _пр в кусочно-линейной модели диода. Величину r _диф можно найти как отношение длин катетов прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является проведенная касательная (рис. 4):

где r _диф1, r _диф2 – значения дифференциального сопротивления диода в точках 1 и 2 соответственно.

Для показанной на рис. 4 характеристики

Величины для выбранных точек 1 и 2 составляют

Построим зависимость (5) в системе координат . Для этого отметим две точки (назовем их условно 1 ’ и 2 ’) с найденными только что координатами , и соединим их прямой (рис. 5). Точка пересечения этой прямой с осью r _диф определяет значение r _б. Действительно, когда второе слагаемое в выражении (5) обращается в ноль, т.е. когда = 0 и мы находимся на оси r _диф, r _диф = r _б. Для показанной на рис. 5 зависимости r _б ≈ 2 Ом.

Рис. 5. Зависимость r диф = f (1/ I д), соответствующая вольт-амперной характеристике диода, приведенной на рис. 4

Значение произведения m φ_т в соответствии с выражением (5), являющимся для системы координат уравнением прямой, найдем по отношению разности координат двух точек на этой прямой. Удобнее использовать уже известные нам координаты точек 1 ’ и 2 ’. Тогда

Зная величину φ_т для данной температуры, можно отдельно найти значение коэффициента m. Например, в нашем случае при T = 293 К, когда φ_т ≈ 0,025 В, m = 0,16/0,025 = 6,4.

Значение теплового тока насыщения p-n- перехода I_s найдем, преобразовав выражение (2) и подставив в него координаты произвольной точки на ВАХ диода (например, точки 2) и найденные параметры r _б и m φ_т. При этом, исходя из нелинейной модели диода (рис. 3), в качестве напряжения на p-n- переходе U_p-n мы будем подставлять разность внешнего напряжения на диоде U _д и падения напряжения на сопротивлении r _б:

Методические указания к решению задач 11–20

По справочным вольт-амперным характеристикам биполярного транзистора (рис. 6) определим параметры его малосигнальных моделей в h- и y- параметрах в усилительной области при токе базы I _б = 400 мкА и напряжении U _кэ = 6 В.

Рис. 6. Семейства входных (а) и выходных (б) ВАХ биполярного транзистора

При анализе работы усилителя на биполярном транзисторе по переменному току (малосигнальный анализ) транзистор заменяют его малосигнальной моделью, представляющей собой классический четырехполюсник. Наиболее распространены малосигнальные модели в так называемых h- (рис. 7, а) и y- параметрах (рис. 7, б). При этом h- параметры легче определить, зато y- параметры удобнее использовать.

Рис. 7. Малосигнальные модели биполярного транзистора: а – модель в h- параметрах; б – модель в y- параметрах

При малосигнальном анализе рассматривается работа транзистора в режиме усиления переменного входного сигнала малой амплитуды, когда абсолютные значения входного тока и входного напряжения транзистора мало изменяются по сравнению с их постоянными составляющими (рис. 8). В этом случае транзистор можно описать системой линейных уравнений.

Рис. 8. Временнáя диаграмма напряжения в режиме малого сигнала: U = – постоянная составляющая напряжения; u ~ – переменная составляющая

Для модели в h- параметрах независимыми величинами являются переменные составляющие входного тока i _вх и выходного напряжения u _вых, а зависящими от них величинами – переменные составляющие выходного тока i _вых и входного напряжения u _вх:

(6)

При включении биполярного транзистора по схеме с общим эмиттером систему (6) следует записать в виде

(7)

Буква «Э» в индексах h- параметров обозначает схему включения транзистора (при включении транзистора по схеме с общей базой или общим коллектором в обозначениях h- параметров появятся буквы «Б» и «К» соответственно; входными токами и напряжениями, выходными токами и напряжениями будут i _э, u _бэ, i _к, u _кб и i _б, u _бэ, i _э, u _кэ соответственно).

Значения h- параметров можно определить по входным и выходным ВАХ транзистора в окрестностях предварительно найденной точки покоя. Исходя из уравнений (7) параметр h _11э должен определяться как

(8)

где Δ U _бэ, Δ I _б – малые изменения абсолютных значений напряжения и тока базы транзистора вблизи точки покоя; U _кэ.п – выходное (в данном случае коллекторное) напряжение транзистора в точке покоя.

Поскольку параметр h ₁₁ определяется как отношение входных напряжения и тока, он должен называться входным сопротивлением транзистора.

Аналогично определяются остальные h- параметры биполярного транзистора:

(9)

(10)

(11)

Здесь I _б.п – входной ток транзистора (ток базы) в точке покоя; Δ U _кэ, Δ I _к – малые изменения абсолютных значений коллекторных напряжения и тока вблизи точки покоя.

Параметры h ₁₂, h ₂₁, h ₂₂ называются соответственно коэффициентом обратной связи по напряжению, коэффициентом передачи входного тока и выходной проводимостью транзистора.

Параметры h ₁₁ и h ₁₂ определяются по входным ВАХ биполярного транзистора, а h ₂₁ и h ₂₂ – по выходным ВАХ. При этом коэффициент обратной связи по напряжению h ₁₂ обычно настолько мал, что на практике можно считать его равным нулю.

Пусть в режиме покоя биполярный транзистор характеризуется следующими значениями тока и напряжения: I _б.п = 600 мкА, U _кэ.п = 6 В. Определим по входным ВАХ входное сопротивление транзистора h _11э в окрестностях точки покоя (рис. 9). Для выполнения условия U _кэ = U _кэ.п в выражении (8) мы должны использовать ветвь ВАХ, соответствующую выходному напряжению U _кэ = 6 В, которая отсутствует на приведенной характеристике. В то же время известно, что при работе биполярного транзистора в усилительном режиме ветви его входных ВАХ, соответствующие различным значениям выходного напряжения, с увеличением этого напряжения свыше 2–3 В проходят настолько близко друг к другу, что практически сливаются в одну. Поэтому на рис. 9 мы отметили точку покоя А на имеющейся в нашем распоряжении ветви характеристики, соответствующей U _кэ = 5 В.

Рис. 9. К определению параметра h 11э по входной вольт-амперной характеристике транзистора

Отметим на этой же ветви ВАХ рядом с точкой А две дополнительные точки B и C (чуть выше и чуть ниже точки покоя, как это показано на рис. 9). Тогда в соответствии с выражением (8) входное сопротивление транзистора в окрестностях точки покоя будет определяться как отношение разностей координат точек B и C:

Параметры h ₂₁ и h ₂₂ определим по выходным ВАХ транзистора (рис. 10). Точкой покоя транзистора на выходных ВАХ является D.

Условием определения коэффициента передачи входного тока h _21э согласно выражению (10) является неизменность выходного напряжения U _кэ = U _кэ.п = 6 В. Выполняя данное условие, отметим на выходных ВАХ (рис. 10, а) две дополнительные точки E и F – точки пересечения прямой, описываемой уравнением U _кэ = 6 В (вертикальная пунктирная прямая), с ветвями ВАХ, лежащими чуть выше и чуть ниже ветви, соответствующей току базы покоя I _б.п = 0,6 мА. В данном случае мы выбрали ближайшие ветви ВАХ, соответствующие значениям тока базы 0,8 и 0,4 мА. Согласно выражению (10)

В качестве Δ I _б мы подставили разность значений тока базы для точек E и F.

Рис. 10. К определению параметров h _21э (а) и h _22э (б) по выходным вольт-амперным характеристикам биполярного транзистора

Условием определения выходной проводимости h _22э согласно выражению (11) является неизменность входного тока I _б = I _б.п = 0,6 мА, т.е. мы должны оставаться на ветви ВАХ, соответствующей этому току. Выполняя данное условие, отметим на ней две дополнительные точки L и M слева и справа от точки покоя D (рис. 10, б). Строго говоря, мы должны отметить эти точки как можно ближе к точке покоя, исходя из самого понятия малосигнальной модели. Но как видно из рис. 10, б, ветвь ВАХ почти на всем своем протяжении является прямолинейной, и мы можем расставить точки L и M на большее расстояние – в этом случае нам будем удобнее измерять разность их координат по вертикальной оси (оси тока). Выходная проводимость h _22э находится как отношение разностей координат точек M и N:

Простые, как было только что показано, в определении, h- параметры, тем не менее, не очень удобно применять при малосигнальном анализе. Все дело в их «разнородности» – среди них есть и безразмерные коэффициенты (h ₁₂, h ₂₁), и сопротивление (h ₁₁), и проводимость (h ₂₂). Поэтому при составлении системы уравнений для транзисторной схемы по методу узловых потенциалов, когда потенциалы узлов схемы связывают друг с другом посредством проводимостей ветвей, удобнее использовать малосигнальную модель биполярного транзистора в y- параметрах (рис. 7, б). Эта модель описывается системой уравнений

(12)

При включении транзистора по схеме с общим эмиттером система (12) преобразуется к виду

(13)

Очевидно, что y- параметры, связывающие переменные составляющие напряжений (независимые величины) с переменными составляющими токов (зависимые величины), имеют размерность проводимостей.

Значения y- параметров биполярного транзистора удобнее определять не из вольт-амперных характеристик, а из полученных ранее значений h- параметров:

(14)

Подставив в выражения (14) найденные нами значения h- параметров, получим

Методические указания к решению задач 21–30

Для схемы, представленной на рис. 11, найдем потенциалы всех узлов и токи всех ветвей. Исходные данные: J = 1 А, Е = 1 В, R ₁ = 1 Ом, R ₂ = 2 Ом, R ₃ = 4 Ом, R ₄ = 5 Ом, R ₅ = 8 Ом, R ₆ = 10 Ом.

Рис. 11. Схема для проведения статического анализа

Обозначим узлы схемы номерами от 0 до 3 (узлы, находящиеся справа от узлов 2 и 3, мы никак не обозначили, поскольку они имеют такие же потенциалы). Приравняем потенциал одного из узлов схемы (узла 0) к нулю, а для всех оставшихся узлов составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

(15)

где g ₁, g ₂, g ₃, g ₄, g ₅, g ₆ – проводимости ветвей с сопротивлениями R ₁, R ₂, R ₃, R ₄, R ₅, R ₆ соответственно (g = 1/ R).

Решаем данную систему уравнений любым из известных способов. Если число неизвестных больше двух, как в данном случае, систему удобнее решать не методом подстановки, а матричным методом (методом Крамера). В матричном виде система уравнений (15) будет выглядеть

Найдем сначала определитель матрицы проводимостей:

С учетом приведенных значений сопротивлений и параметров источников J и E имеем D» 0,238 См³.

Для определения потенциалов узлов j₁, j₂ и j₃ необходимо предварительно найти определители матриц, полученных из матрицы проводимостей путем подстановки столбца с источниками токов вместо первого, второго и третьего столбцов матрицы соответственно:

Подставив известные значения проводимостей, E и J, получим D₁» 0,2 В×См³, D₂» 0,46 В×См³, D₃» – 0,32 В×См³. Теперь можно найти потенциалы узлов схемы:

Зная потенциалы узлов схемы, можно определить также и токи ветвей. Обозначим токи, протекающие через резисторы R ₁, R ₂, R ₃, R ₄, R ₅, R ₆, соответственно I_{R 1}, I_{R 2}, I_{R 3}, I_{R 4}, I_{R 5}, I_{R 6}. Тогда, с учетом показанных на рис. 11 направлений токов, их значения можно определить как

Полученное отрицательное значение тока I_{R 4} означает, что его истинное направление противоположно показанному на рис. 11.

Проверим правильность решения с помощью Первого закона Кирхгофа: для любого узла схемы сумма всех втекающих в него токов должна быть равна сумме вытекающих. Так, например, для узла 2 должно выполняться равенство I_{R 1} + I_{R 3} = I_{R 2}. Действительно, 0,16 + 0,27 = 0,43 ≈ ≈ 0,42 А. Небольшая погрешность, связанная с округлениями промежуточных и конечных результатов, вполне допустима.

Аналогично можно удостовериться в выполнимости Первого закона Кирхгофа и для остальных узлов схемы.

Методические указания к решению задач 31–40

Проведем частотный анализ показанной на рис. 12 схемы: получим выражения для амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик его коэффициента передачи по напряжению k_u. Исходные данные: R ₁ = 2 кОм, R ₂ = 1 кОм, R ₃ = 10 кОм, С = 1 мкФ. Операционный усилитель будем считать идеальным.

Рис. 12. Схема для проведения частотного анализа

При малосигнальном анализе, в том числе и в диапазоне частот, идеальный операционный усилитель (ОУ) обычно представляют как источник напряжения, управляемый напряжением (рис. 13), с бесконечным входным сопротивлением. При этом часто считают выходное сопротивление r _вых равным нулю, а коэффициент передачи дифференциального (разностного) входного напряжения k _д – стремящимся к бесконечности. Вследствие этого, если для схемы с идеальным операционным усилителем записать систему уравнений по методу узловых потенциалов, то в уравнении для узла, к которому подключен выход ОУ, потенциал этого узла будет умножаться на сумму подключенных к нему проводимостей, одна из которых бесконечна. Поэтому при составлении уравнений по методу узловых потенциалов уравнения для узлов, к которым в схеме подключены выходы операционных усилителей, не записываются. Так как при этом число уравнений станет меньше числа неизвестных потенциалов узлов на количество ОУ в схеме, система станет неразрешимой. Поэтому ее дополняют уравнениями вида φ_и = φ_ни, где φ_и, φ_ни – потенциалы инвертирующего и неинвертирующего входов ОУ (это уравнение также вытекает из предположения об идеальности операционного усилителя).

Рис. 13. Схема замещения идеального операционного усилителя

С учетом этих особенностей составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для схемы, представленной на рис. 12:

(16)

где pC – изображение емкостной проводимости Y_C = j ω C (по Лапласу).

Нам необходимо получить зависимость от частоты коэффициента передачи схемы по напряжению k_u, который определяется как отношение выходного напряжения схемы к входному:

Заменив в системе (16) потенциал φ₁ на равный ему φ₂, получим

Данную систему удобно решить методом подстановки, выразив из второго уравнения φ₂ через e _г и подставив затем это выражение вместо φ₂ в первое уравнение. Тогда

или

.

Отсюда

Произведя замену p на j ω, получим зависимость коэффициента передачи по напряжению от комплексной частоты:

(17)

На практике вместо выражения (17) пользуются зависимостями от частоты отдельно модуля и аргумента коэффициента передачи – АЧХ и ФЧХ. Пусть в общем случае схемная функция (в нашем случае это коэффициент передачи по напряжению) представлена в виде

где Re A, Im A – реальная и мнимая части числителя схемной функции;
Re B, Im B – реальная и мнимая части знаменателя схемной функции.
Тогда модуль схемной функции (АЧХ) будет определяться как

а ее аргумент (ФЧХ) – как

В нашем случае выражением для АЧХ будет

а выражением для ФЧХ –

С учетом приведенных параметров элементов схемы имеем

(18)

Построим качественно АЧХ и ФЧХ для нашего примера (рис. 14). Подставим в выражения (18) частоту ω = 0. При этом модуль коэффициента передачи будет равен 6. Это означает, что на нулевой частоте (на постоянном токе) схема усиливает входное напряжение e _г в 6 раз. Угол фазового сдвига φ на нулевой частоте равен нулю.

Исследуя выражения (18), можно увидеть, что при ω → ∞ модуль коэффициента передачи стремится к нулю, а фазовый сдвиг – к углу -π/2.

Частота, на которой модуль коэффициента передачи уменьшается в раз от своего максимального значения, т.е. в данном случае равен , называется граничной. Приравняв модуль коэффициента передачи к , получим, что граничная частота в нашем случае ω_гр = 10³ с^-1. Угол фазового сдвига на этой частоте, как видно из выражения (18) для φ, равен -π/4.

Рис. 14. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики коэффициента передачи по напряжению схемы на рис. 12

Методические указания к решению задач 41–50

Исследуем приведенную на рис. 12 схему на устойчивость с помощью критериев Гурвица и Михайлова.

Устойчивыми называются системы (цепи), в которых токи и напряжения после снятия внешнего воздействия с течением времени уменьшаются до нуля (затухают).

Неустойчивыми называют системы (цепи), в которых токи и напряжения по окончании действия внешнего возмущения продолжают возрастать. В реальных цепях неустойчивость вызывает самовозбуждение, т.е. генерацию нежелательных колебаний.

Анализ и расчет схем на устойчивость занимают в теории и практике применения электронных цепей очень важное место. Одна из глобальных целей расчета схем − обеспечить устойчивую работу соответствующих цепей в реальных условиях эксплуатации. Невыполнение указанной цели характеризует некачественность проведенных расчетов.

Анализ схемы на устойчивость проводят различными способами, основанными на анализе знаменателя схемной функции и отличающимися характером критерия. Среди них алгебраический критерий устойчивости Гурвица, частотный критерий устойчивости Михайлова, позволяющий судить об устойчивости по виду частотного годографа, и др.

Дата добавления: 2014-12-25