Интегральная теорема Лапласа. По-прежнему будем считать, что проводятся n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна Р

По-прежнему будем считать, что проводятся n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна Р. Вычислим вероятность Р_n (k ₁, k ₂) того, что событие А появится в испытаниях не менее k ₁ и не более k ₂ раз (от k ₁ до k ₂ раз).

Теорема:

Если вероятность Р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п (k ₁, k ₂) того, что событие А появится в испытаниях от k ₁, до k ₂ раз, приближенно равна определенному интегралу.

где

Функция называется интегрированной функцией Лапласа, табулирована (см. приложение 2).

Для нахождения функции Лапласа при отрицательных значениях аргумента следует помнить свойства нечетности Ф(х), т.е. Ф(-х)=-Ф(х). Используя табличные значения Ф(х) окончательно получим

Пример 1.11.1.

Найти вероятность того, что событие А наступит от 70 до 100 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение.

По условию, р =0,2, q =0,8, n =400, k ₁= 70, k ₂=100. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа.

Вычислим

Окончательно

Р₄₀₀ (70,100)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25)=0,494+0,394=0,888.

Дата добавления: 2014-12-25