Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых событиях

Пусть производится п, независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность появления интересующего события равна Р. Найдем вероятность осуществления неравенства

< δ)

— относительная частота; δ >0 наперед заданное положительное число.

Неравенство < δ перепишем в виде или после элементарных преобразований

.

Воспользуемся формулой предыдущего параграфа, обозначив

.

При выводе последнего соотношения было учтено тождество

Ф(х)=-Ф(-х).

Пример 1.11.3.

Вероятность, что деталь нестандартна, р =0,1. Найти вероятность, что среди 900 деталей, относительная частота появления нестандартных деталей будет отличаться от постоянной вероятности р =0,1 по абсолютной величине менее; δ =0,03.

Решение:

Найдем искомую вероятность, пользуясь формулой

< δ) , получим

.

В группах по 900 отобранных деталей в 99,74% случаев отклонение относительной частоты появления нестандартной детали от вероятности Р =0,1 не превысит δ =0,03, т.е. не осуществится неравенство

> δ).

Пример 1.11.4.

Вероятность появления нестандартной детали р =0,1. Найдем, сколько надо отобрать деталей, чтобы с вероятностью, равной 0,9974, можно было утверждать, что относительная частота появления среди отобранных деталей нестандартных деталей будет отличаться от постоянной вероятности р =0,1 по абсолютной величине не более,чем на δ= 0.03.

Решение. Для решения воспользуемся формулой

< δ) .

По условию p =0,1, q =0,9, δ =0,03

.

По таблице для функций Фнаходим , следовательно n =900.

Полученный результат можно пояснить следующим образом. Если брать группы по 900 деталей, то в 99,74% случаев в указанной группе, будет нестандартных деталей не менее 63 (7% от 900), и не более 117 (13% от 900).

  2. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. 2.1. Определение дискретной случайной величины. Определение: Переменная величина х, принимающая в результате испытаний одно из конечной или бесконечной последовательности значений x ₁, х ₂,..., х _n называется дискретной случайной величиной, если каждому значению х _n соответствует определенная вероятность Р_n того, что переменная величина х примет значение х _n. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины х можно представлять в виде таблицы:

Возможные значения случайной величины х	x 1	х 2,	…	х n
Вероятности этих значений Р	Р 1	Р 2	…	Рn

Пример 2.1.1.

Переменная величина х есть число очков, выпадающих на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. X в этом случае принимает одно из следующих значений: 1,2,3,4,5,6. Вероятность выпадания каждого значения есть . Следовательно, закон распределения этой случайной величины будет иметь вид:

х
Р

То, что случайная величина х примет одно из значений последовательности x ₁, х ₂,..., х _n, есть событие достоверное и поэтому выполняется условие:

в случае конечной последовательности или

в случае бесконечной последовательности.

Пример 2.1.2.

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и десять выигрышей по I руб. Найти закон распределения случайной величины х -стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: напишем возможные значения х:

х ₁=50, х₂ =1, х ₃=0.

Вероятности этих возможных значений

Р ₁=0,01; Р ₂=0,1; .

Закон распределения запишем в виде

х:
Р	0,01	0,1	0,89

Дата добавления: 2014-12-25