Робота сили ваги 3 страница

знайдемо

.

Тоді

або

Потенціюючи це рівняння, знайдемо:

або , звідки

.

Аналізуючи отримане рівняння, бачимо, що швидкість руху тіла весь час зростає, прагнучи до свого граничного значення, тобто

при

Практично через деякий проміжок часу рух стає рівномірним. В цей момент сила опору середовища R дорівнюватиме вазі тіла. Тобто, враховуючи, що , маємо

Запишемо рівняння (20.4) у вигляді

тоді

Після інтегрування це рівняння набуває вигляду

.

При початкова умова: . Тоді стала інтегрування

Підставивши значення в результат інтегрування, дістанемо закон руху тіла, що падає з висоти з врахуванням сили опору для нашого випадку

Якщо , то маємо практично лінійну залежність від часу за такого руху тіла:

Приклад ІV. Сила залежить від положення точки.

Розглянемо рух матеріальної точки , кинутої вертикально вгору з поверхні Землі зі швидкістю під впливом сили тяжіння Землі (рис. 22.6). Знайдемо залежність швидкості точки від її відстані до центру Землі.

Виберемо початок координат у центрі Землі та спрямуємо вісь вздовж траєкторії точки за напрямком руху. Як відомо, сила тяжіння обернено пропорційна квадрату відстані між точкою та центром Землі, тобто

,

де – коефіцієнт пропорційності (рис. 22.6).

Значення цього коефіцієнта легко визначити з умови, що на поверхні Землі в точці сила дорівнює силі ваги

,

звідки

Остаточно формула сили тяжіння дорівнює

Запишемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки

або

Перетворимо ліву частину цього рівняння

,

тоді

.

Відокремимо змінні в одержаному рівнянні та проінтегруємо обидві частини, вважаючи верхню границю змінною

,

звідки

.

У початковий момент руху

при : , ;

,

тому

.

Таким чином

,

звідки

Максимальну відстань , на яку піднімається тіло, можна отримати з цієї рівності при .

Тоді після нескладних перетворень

Із цієї формули видно, що збільшується зі зростанням і, коли , відстань прагне до нескінченності. Отже, матеріальна точка, яку запустили з поверхні Землі зі швидкістю , вже не повернеться назад. Цю швидкість називають другою космічною швидкістю. Вона дорівнює

.

Лекція 23

ДИНАМІКА ВІДНОСНОГО РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

23.1. Диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки

Динамічні рівняння руху матеріальної точки в інерціальних системах відліку підпорядковуються законам Ньютона. Проте, в більшості випадків задачі динаміки зводяться до дослідження руху точки в неінерціальній системі відліку.

Звична для нас система, яка пов’язана з Землею, також не є інерціальною.

Другий закон Ньютона в неінерціальній системі відліку не виконується.

Розглянемо рух матеріальної точки відносно неінерціальної системи відліку.

Припустимо, що довільна матеріальна точка рухається при дії рівнодійної активних сил та рівнодійної реакцій в’язей (рис. 23.1).

При цьому точка рухається відносно рухомої системи координат , (відносний рух точки – ), яка,в свою чергу, рухається разом з точкою не поступально відносно нерухомої (інерціальної) системи координат (переносний рух точки – ).

Нехай, переносний рух рухомої системи координат відносно нерухомої системи відліку заданий. Визначимо відносний рух точки відносно рухомої системи координат .

Абсолютний рух невільної точки , масою , відносно інерціальної системи координат , тобто , підпорядковується другому закону Ньютона:

, (23.1)

де – абсолютне прискорення точки .

На підставі теореми Коріоліса, у випадку переносного непоступального руху, абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі трьох прискорень – відносного , переносного та прискорення Коріоліса :

. (23.2)

Підставляючи значення (23.2) в (23.1), дістаємо векторне рівняння руху невільної матеріальної точки:

. (23.3)

Перетворимо рівність (23.3) стосовно до відносного прискорення, тобто перенесемо два останніх доданка з лівої частини в праву:

. (23.4)

Введемо такі позначення:

. (23.5)

Вектор називається силою інерції переносного руху.

Вектор називається силою інерції Коріоліса.

Підставляючи значення (23.5) в (23.4), отримаємо основне рівняння відносного руху матеріальної точки в векторній формі:

. (23.6)

Таким чином, відносний рух матеріальноїточки можна розглядати як абсолютний, якщо до прикладених до точки активних сил та реакцій вязей умовно додати переносну та коріолісову сили інерції.

Розглянемо якісну відмінність між силами і , прикладеними до точки , і силами інерції та .

Сили і є результатом дії на матеріальну точку певних фізичних тіл, які можна повністю конкретно визначити в усіх окремих випадках.

Джерела існування таких сил не залежать від вибору координатної системи. Ці сили називаються ньютоновимисилами.

Що стосується переносної та коріолісової сил інерції, які називаються ейлеровими силами інерції, то вони з’являються лише тоді, коли матеріальна точка рухається в неінерціальній системі відліку і повністю залежать від характеру руху цієї системи відліку.

Ейлерові сили інерції не підкоряються закону рівності дії та протидії.

Якщо на деяку матеріальну точку діє сила інерції, то для неї не існує сили протидії, тобто ейлереві сили інерції не мають джерела свого виникнення з точки зору тверджень класичної механіки.

Крім того, значення ейлеревих сил інерції та визначають не за допомогою приладів, як при визначенні фізичних ньютонових сил, а лише за формулами (23.5).

Отже, в межах класичної механіки ейлерові сили інерції та є фіктивними, тобто умовно прикладеними до матеріальної точки, рух якої розглядається.

Переносна і кориолісова сили інерції не є відображенням механічної взаємодії матеріальних об’єктів, а є результатом формального зведення диференціальних рівнянь динаміки, записаних у неінерціальній системі відліку, до відомої форми запису диференціальних рівнянь в інерціальній системі відліку. Такий підхід дає змогу застосувати для розв’язання ряду практичних задач увесь розроблений раніше математичний апарат.

Якщо спроектувати обидві частини векторного рівняння (23.6) на рухомі координатні осі Охуz, отримаємо диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки:

;

. (23.7)

23.2. Принцип відносності в класичній механіці

Розглянемо частинний випадок, коли рухома координатна система Охуz рухається відносно нерухомої поступально, прямолінійно і рівномірно, тобто і . В цьому випадку , і тому відповідно: і .

Отже, основне рівняння (23.6) відносного руху точки має вигляд:

. (23.8)

Порівнюючи рівняння (23.1) і (23.8) бачимо, що в цьому частинному випадку, абсолютний і відносний рухи точки визначаються ідентичними рівняннями. Тобто, рухома координатна система також є інерціальною.

Таким чином, всі системи відліку, що рухаються рівномірно й прямолінійно відносно інерціальної координатної системи, теж є інерціальними, а рух матеріальної точки відносно будь-якої з них можнарозглядати як абсолютний рух.

Це вказує на інваріантність рівнянь динаміки при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

Якщо уявити спостерігача в закритому приміщенні, яке рухається рівномірно і прямолінійно, то він, не відчуваючи дії переносної і коріолісової сил інерції, не може визначити свого положення відносно інших систем відліку, отже не може визначити, чи рухається його система відліку чи перебуває в стані спокою.

Таким чином, приходимо до висновку, який носить назву принципу відносності в класичній механіці: жодними механічними дослідженнями в середовищі не можна визначити його рівномірного і прямолінійного руху.

23.3. Випадок відносного спокою. Сила ваги

Нехай точка перебуває в стані відносного спокою, тобто і . У цьому разі прискорення Коріоліса, а тому і сила інерції Коріоліса, дорівнюють нулю (, ).

Тоді рівняння відносного спокою матеріальної точки має вигляд:

. (23.9)

Отже, у випадку, коли матеріальна точка перебуває у стані відносного спокою, геометрична сума прикладених до неї активних сил, реакцій вязей і переносної сили інерції дорівнює нулю.

Як приклад розглянемо відносний спокій матеріальної точки на поверхні Землі (рис. 23.2).

Скористаємось рівнянням відносного спокою точки, яка в цьому разі є невільною. Застосуємо принцип звільнення від в’язей: Тоді рівняння (21.9) набуває вигляду:

. (23.10)

Тут – сила тяжіння точки біля поверхні Землі; – реакція опори; – переносна сила інерції точки. За величиною, сила , згідно із законом тяжіння, дорівнює:

;

де – гравітаційна стала; – маса точки; – маса Землі, а – її радіус; сили інерції

;

,

оскільки .

Очевидно, сила тиску точки на Землю буде дорівнювати:

.

Отже, сила що є рівнодійною сили тяжіння і переносної сили інерції ,називається силою ваги і дорівнює їх геометричній сумі:

. (23.11)

Напрям сили ваги визначає напрям вертикалі в даній точці поверхні Землі. Напрям і величину реакції поверхні Землі визначаємо виходячи з величини і напрямку сили ваги (рис. 23.2).

Найбільшу вагу тіло має на полюсі, де , а сила – максимальне значення (тут радіус Землі мінімальний), а найменшу вагу – на екваторі.

За допомогою теорії відносного руху точки пояснюється тиск потяга на рейки; дія води в річках на їх русла, стан невагомості тіла, рух маятника Фуко і т. д.

23.4. Приклади розв’язування задач динаміки відносного руху матеріальної точки

Приклад 1. Точка підвісу математичного маятника рухається вниз зі сталим прискоренням . Знайти період малих коливань маятника, якщо (рис. 23.3).

Розв’язання. Маятник перебуває в складному русі.

Переносний рух – це поступальний прискорений рух маятника разом з точкою привісу вздовж вертикалі вниз.

Відносним рухом є рух точки за дугою кола радіуса .

Покажемо сили, які діють на точку (рис. 23.3). Отже, це вага і реакція мотузки , а також умовно прикладені і сили інерції.

Запишемо векторне рівняння відносно руху точки :

.

Оскільки переносний рух – поступальний , то прискорення Кориоліса і відповідно сила інерції Кориоліса дорівнюють нулю.

Переносна сила інерції спрямована до гори:

.

Спроектуємо векторне рівняння на дотичну до відносної траєкторії точки :

.

Проекція реакції в’язі нитки на дотичну дорівнює нулю.

Проекція відносного прискорення на дотичну за модулем дорівнює:

З урахуванням малих коливань приймаємо . Отже, рівняння відносного руху має вигляд:

;

.

Тут

.

Період малих коливань маятника дорівнює:

.

Приклад 2. Гладенький стержень довжиною обертається рівномірно навколо вертикальної осі, що проходить через його кінець зі сталою кутовою швидкістю (рис. 23.4). Вздовж стержня вільно переміщується кільце , яке в початковий момент часу () знаходилось в середині стержня. Через скільки секунд кільце зійде зі стержня?

Розв’язання. Кільце М здійснює складний рух: поступальний вздовж стержняі переносний – обертальний разом із стержнем навколо нерухомої вертикальної осі .

Рухому систему відліку Ох пов’язуємо зі стержнем .

До кільця прикладені: сила ваги , вертикальна та горизонтальна складові повної реакції стержня. Умовно прикладаємо сили інерції і , які за модулем дорівнюють:

;

.

Векторне рівняння відносного руху кільця М запишемо у такому вигляді:

.

Спроектуємо його на вісь . Вектори , , та перпендикулярні (рис. 21.4).

Отримаємо диференціальне рівняння відносного руху кільця :

; ,

звідки

.

Складемо характеристичне рівняння:

корені якого

.

Тоді, загальний розв’язок рівняння матиме вигляд:

.

Для визначення сталих інтегрування і запишемо вираз для швидкості кільця:

.

та складемо початкові умови:

при : , .

Підставляючи їх у рівняння руху і швидкості, відповідно отримуємо:

Дата добавления: 2014-12-25