Аналіз стійкості за логарифмічними частотними характеристиками

Критерій, сформульований 1938 року російським вченим О.В. Михайловим, є геометричною інтерпретацією принципу аргументу та дозволяє судити про стійкість системи за деякою кривою, що називається кривою Михайлова.

Критерій стійкості Михайлова.

Нехай дано характеристичне рівняння замкнутої системи. Ліва частина цього рівняння називається характеристичним поліномом (7.1).

Якщо підставити до нього уявне значення s=jw, то отримаємо комплексний поліном:

(7.6)

де X(w) та Y(w) - дійсна та уявна функції Михайлова;

D(w) та j(w) - модуль та аргумент вектора .

Причому,

(7.7)

При зміні частоти w від 0 до +¥ вектор буде змінюватися за модулем і напрямком і описувати при цьому своїм кінцем у комплексній площині деяку криву, яку називають кривою (годографом) Михайлова.

Кут повороту вектора навколо початку координат при зміні частоти w від 0 до +¥ визначається формулою (7.5).

Звідси кількість правих коренів полінома D(s):

(7.8)

Значить, кількість правих коренів дорівнюватиме нулю, якщо

(7.9)

Для стійкості системи необхідно та достатньо, щоб усі корені характеристичного рівняння були лівими, тобто, крім умови (7.9), має ще виконуватися умова

(7.10)

Формули (7.9) та (7.10) є математичним виразом критерію стійкості Михайлова.

Із (7.7) випливає, що при w=0 X(0)=a₀; Y(0)=0, тобто крива Михайлова починається на додатній дійсній півосі: D(0) = a₀ > 0.

Наведемо формулювання критерію стійкості Михайлова:

Для того, щоб система автоматичного керування була стійкою, необхідно та достатньо, щоб крива Михайлова при зміні частоти w від 0 до +¥, починаючись при w=0 на дійсній додатній півосі, обходила тільки проти годинникової стрілки послідовно n квадрантів координатної площини ніде не перетворюючись на нуль, де n - порядок характеристичного рівняння.

Крива Михайлова для стійких систем має плавну спіралевидну форму, кінець її прямує до нескінченності у квадранті, номер якого дорівнює степеню характеристичного рівняння (рис. 3.4).

Кількість правих коренів для нестійкої САК можна визначити за (7.8).

Із рис. 7.2 випливає, що крива Михайлова при послідовному проходженні квадрантів почергово перетинає дійсну та уявну вісі. У точках перетину з дійсною віссю уявна функція Михайлова дорівнює нулю: Y(w) = 0. У точках перетину з уявною віссю стає рівною нулю дійсна функція Михайлова: X(w) = 0.

X(w) та Y(w) можуть бути зображені графічно у вигляді деяких кривих (рис. 7.3).Точки перетину цих кривих з віссю частот дають значення коренів рівнянь:

X(w) = 0; Y(w) = 0.

Якщо w₀, w₂, w₄ ,... - це корені рівняння Y(w) = 0, причому w₀< w₂<w₄<...; w₁, w₃, w₅,... - корені рівняння X(w) = 0, причому w₁<w₃<w₅<..., то для стійкої системи обов’язкове виконання нерівності:

w₀ < w₁ < w₂ < w₃ < w₄ < w₅ <... (7.11)

Звідси випливає ще одне формулювання критерію стійкості Михайлова:

САК буде стійкою тоді й тільки тоді, коли дійсна X(w) та уявна Y (w) функції Михайлова, прирівняні до нуля, мають усі дійсні та переміжні корені, причому загальна кількість коренів дорівнює порядку n характеристичного рівняння, а при w = 0 виконуються умови X(0) =a₀ > 0; Y¢(0) > 0.

7.3. Критерій стійкості Найквіста.

Цей частотний критерій стійкості, розроблений 1932 р. американським вченим Г. Найквістом, дозволяє судити про стійкість замкнутої САК за виглядом АФЧХ розімкнутої системи.

Нехай передавальна функція розімкнутої системи:

W(s) = R(s)/Q(s).

Тоді комплексна передавальна функція:

(7.12)

де U(w) і V(w) – дійсна та уявна частини КПФ;

A(w) і y(w) – модуль та фаза КПФ.

Розглянемо допоміжну функцію

(7.13)

де – характеристичний поліном замкнутої системи.

Оскільки в реальних системах ступінь поліному R(s) не вище ступеня поліному Q(s), тобто , то ступінь чисельника та знаменника дробу (7.13) одинакові та дорівнюють n. Приймаючи s=jw, отримаємо

. (7.14)

Нехай характеристичне рівняння замкнутої САК D(s) = 0 має m правих та (n-m) лівих коренів, а характеристичне рівняння розімкнутої системи Q(s)=0 має L правих та (n-L) лівих коренів.

При зміні частоти w від -¥ до +¥ зміна кута повороту вектора за принципом аргументу (7.4) буде:

(7.15)

Для стійкості замкнутої САК необхідно і достатньо, щоб усі корені її характеристичного рівняння були лівими, тобто m=0.

Тоді сумарний поворот вектора стійкої системи навколо початку координат має бути рівний

(7.16)

Звичайно розглядають тільки додатні частоти w>0, тоді

(7.18)

Значить, якщо розімкнута система є нестійкою і має L правих коренів, то замкнута система буде стійкою тоді й тільки тоді, коли АФЧХ допоміжної функції при зміні частоти w від 0 до +¥ охоплює початок координат у додатному напрямку L/2 раз.

Із (7.14) випливає, що кількість обертів вектора навколо початку координат дорівнює кількості обертів вектора W(jw) навколо точки (-1; j0). Звідси отримуємо формулювання критерію стійкості Найквіста:

Якщо розімкнута САК нестійка, то для того, щоб замкнута САК була стійкою, необхідно та достатньо, аби АФЧХ розімкнутої системи W(jw) при зміні частоти w від 0 до +¥ охоплювала точку (-1; j0) у додатному напрямку L/2 раз, де L – кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої САК.

На практиці зручніше користуватися таким формулюванням критерію:

Якщо розімкнута САК нестійка, то для того, щоб замкнута САК була стійкою, необхідно та достатньо, щоб різниця між кількістю додатних і від’ємних переходів АФЧХ розімкнутої САК через відрізок дійсної вісі (-¥;-1) при зміні частоти w від 0 до +¥ дорівнювала L/2, де L – кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи.

Додатним переходом АФЧХ через відрізок (-¥;-1) дійсної вісі при зростанні w називається перехід зверху вниз; від’ємним – знизу вверх.

Якщо характеристика W(jw) починається на відрізку (-¥;-1) при w=0 чи закінчується на ньому при w=¥, то вважають, що вона здійснює півпереходу.

Пояснення цього формулювання наведено на рисунку 7.4: різниця між додатними та від’ємними переходами дорівнює одиниці: (2-1)=1. Якщо розімкнута система нестійка і L=2, то замкнута САК буде стійкою.

Якщо САК у розімкнутому стані стійка, тобто L=0, то із (7.18) випливає, що , а значить, АФЧХ розімкнутої САК не повинна охоплювати точку (-1;j0). Отримуємо наступне формулювання критерію:

Якщо розімкнута САК стійка, то замкнута САК буде стійкою, якщо АФЧХ W(jw) розімкнутої САК не охоплює точку з координатами (-1; j0).

За віддаленням АФЧХ розімкнутої САК від точки (-1;j0) можна визначити запас стійкості, який характеризується двома величинами: запасом стійкості за фазою j_зап та запасом стійкості за амплітудою A_зап (рис. 7.5).

Запас стійкості за фазою j_зап визначають як величину кута для частоти зрізу w_зр, при якій .

Цей показник характеризує, на скільки можна змінювати інерційні властивості системи (сталі часу її елементів), щоб система залишалася стійкою. Досвід проектування та експлуатації САК, свідчить, що запас за фазою повинен знаходитися в межах: 30°£j_зап£60°. Однак слід мати на увазі, що це орієнтовні цифри: є системи із запасом 10-15°, або навпаки, 85-90°.

Запас стійкості за амплітудою А_зап визначають як величину відрізка вісі абсцис h, що знаходиться між критичною точкою (-1;j0) та АФЧХ. Величина запасу за амплітудою свідчить, наскільки можна збільшувати коефіцієнт підсилення розімкнутої системи, щоб система при цьому залишалася стійкою: при збільшенні коефіцієнта підсилення модуль АФЧХ також зростає і при деякому значенні цього коефіцієнта k=k_крит, що називається критичним коефіцієнтом підсилення, АФЧХ пройде через точку (-1; j0), тобто h=0 і система буде на межі стійкості. При k > k_крит система буде нестійкою.

Величина запасу стійкості за амплітудою, виражена в дБ (L_зап), повинна складати від 6 до 20 дБ.

Критерій стійкості Найквіста отримав широке розповсюдження завдяки своїм перевагам: критерій може бути використаний у тих випадках, коли диференціальні рівняння системи (чи окремих ланок) невідомі, але експериментально визначені частотні характеристики; використання критерію не дуже ускладнюється зі зростанням порядку системи; критерій дозволяє зв’язати дослідження стійкості системи з аналізом якості як в усталених, так і в перехідних режимах; критерій грунтується на дослідженні передавальної функції розімкнутої системи, яку можна подати у вигляді простих співмножників з коефіцієнтами, що безпосередньо відображають параметри реальних елементів системи; тобто критерій враховує своєрідність автоматичних систем, дослідження яких у розімкнутому стані набагато простіше, ніж у замкнутому; критерій дозволяє отримати кількісні характеристики поведінки системи в усталеному режимі при гармонічних впливах.

У інженерній практиці широке застосування отримав аналіз стійкості САК за логарифмічними частотними характеристиками розімкнутої системи. Це пов’язано з тим, що побудова ЛЧХ розімкнутих систем простіша, ніж побудова їх АФЧХ.

Відповідно до критерію Найквіста стійкість пов’язана з кількістю переходів АФЧХ W(jw) через відрізок (-¥;-1) від’ємної дійсної півосі. Коли W(jw) перетинає від’ємну дійсну піввісь, ЛФЧХ перетинає пряму (-p).

Додатному переходу (зверху вниз) через відрізок (-¥;-1) характеристики W(jw) відповідає перетин ЛФЧХ при L(w)>0 прямої знизу вверх (точка 2 на рис. 7.6), а від’ємному переходу – зверху вниз (точка 1 на рис. 7.6).

Тоді критерій стійкості Найквіста стосовно до ЛЧХ можна сформулювати таким чином:

Для того, щоб САК була стійкою, необхідно і достатньо, щоб різниця між числом додатних і від’ємних переходів ЛФЧХ через пряму (-p) на всіх ділянках, де ЛАЧХ додатна, тобто L(w)>0, дорівнювала L/2 (L – кількість правих коренів характеристичного рівняння розімкнутої системи).

Із аналізу ЛЧХ (рис. 7.6) випливає, що різниця між кількістю додатних і від’ємних переходів ЛФЧХ через пряму (-p) при L(w)>0 дорівнює нулю. Значить, якщо розімкнута САК стійка (L=0), то і замкнута САК буде стійкою. При цьому вона має запаси стійкості за амплітудою h₁ і h₂, та за фазою - j.

Дата добавления: 2014-12-25