Постановка задачі стійкості за О.М. Ляпуновим

Теореми О.М. Ляпунова про стійкість руху

Уперше чітке визначення стійкості було дане російським вченим Ляпуновим 1892 року в роботі «Загальна задача про стійкість руху».

Уведемо нову змінну, що дорівнює різниці змінної y(t) у збуреному та незбуреному русі: Цю змінну називають відхиленням або варіацією величини y(t).

Визначення стійкості за Ляпуновим можна пояснити таким чином.

Стійкість незбуреного руху означає, що при достатньо малих початкових відхиленнях збурений рух буде як завгодно мало відрізнятися від незбуреного руху. Якщо незбурений рух нестійкий, то збурений рух відходитиме від нього, як би малі не були початкові відхилення.

Незбурений рух називається асимптотично стійким, якщо будь-який збурений рух при достатньо малих збуреннях прямує до незбуреного руху, тобто

(6.1)

У результаті лінеаризації точні нелінійні диференціальні рівняння замінюються наближеними лінеаризованими рівняннями, які називаються рівняннями першого наближення.

О.М. Ляпунов сформулював теореми, що дозволяють судити про стійкість нелінійних систем за їх лінеаризованими рівняннями (рівняннями першого наближення).

Теорема 1. Якщо дійсні частини всіх коренів s_i характеристичного рівняння першого наближення від’ємні, то незбурений рух асимптотично стійкий.

Теорема 2. Якщо серед коренів s_i характеристичного рівняння першого наближення є хоча б один корінь з додатною дійсною частиною, то незбурений рух нестійкий.

Якщо серед коренів s_i є хоча б один нульовий корінь, а дійсні частини решти коренів від’ємні, то це відповідає критичному випадку і, згідно з Ляпуновим, стійкість незбуреного руху в цьому випадку не може бути оцінена за рівняннями першого наближення, а потрібний розгляд точних рівнянь.

Дата добавления: 2014-12-25