КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
З.2. Метод прогонки
Метод прогонки применяется для решения систем специального вида, матрица которых является трехдиагональной: (3.7) Такие системы обычно возникают при численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений, интерполировании сплайнами и моделировании некоторых процессов. Выразим из первого уравнения системы (3.7) переменную x0, а из последнего - переменную xn, предполагая, что , и запишем эту систему в следующем виде: (3.8) (3.9) Уравнения (3.8) в совокупности обычно называются разностным уравнением второго порядка или точечным разностным уравнением, а уравнения (3.9) - краевыми условиями для разностного уравнения (З.8). Система же (3.8)-(3.9) в целом называется разностной краевой задачей. Выведем расчетные формулы метода прогонки для решения системы (3.8)-(3.9). Подставим первое краевое условие в первое уравнение (3.8). Получим уравнение (3.10) Найденное выражение (3.10) для x1 подставим в следующее уравнение (3.8) и получим уравнение, связывающее переменные x2 и x3 и т.д. Допустим, что уже найдено соотношение . (3.11) Подставим (3.11) в k -е уравнение (3.8) Разрешим это уравнение относительно x k: , (3.12) (3.13) Таким образом, коэффициенты уравнений (3.12), связывающие соседние переменные , = 1,2,...,п-1, можно определить из рекуррентных соотношений (3.13), поскольку заданы в (3.9). Подставив во второе краевое условие (3.9) выражение для xn-1, вытекающее из формулы (3.12) при = п-1, получим , (3.14) где - заданные в (3.9) коэффициенты, а вычислены по формулам (3.13). Из уравнения (3.14) вычисляем xn: . (3.15) Затем по формуле (3.12) в обратном порядке вычисляем остальные неизвестные . Формула (3.12) при = 0 совпадает с первым краевым условием (3.9). Процесс вычисления коэффициентов по формулам (3.13) называется прямой прогонкой, а вычисление неизвестных по формулам (3.15), (3.12) - обратной прогонкой. Метод прогонки можно применять, если знаменатели формул (3.15), (3.12) не обращаются в нуль. Докажем, что для возможности применения метода прогонки достаточно потребовать, чтобы коэффициенты системы (3.8)-(3.9) удовлетворяли условиям , (3.16) . (3.17) Сначала докажем индукцией, что при условиях (3.16), (3.17) . По первому условию (3.17) . Предположим, что все , и докажем, что . Из оценок и условий (3.16) получаем , т.е. знаменатели выражений (3.13) не обращаются в нуль. Кроме того, , Следовательно, . Далее, учитывая второе из условий (3.17) и только что доказанное неравенство , имеем , т.е. не обращается в нуль и знаменатель в выражении для хп. К аналогичному выводу можно прийти и в том случае, когда условия (3.16), (3.17) заменяются условиями , (3.18) (3.19) или условиями , (3.20) . (3.21) При условиях (3.18), (3.19) из предположения следует . Т.е. все прогоночные коэффициенты, начиная с первого, по модулю строго меньше единицы. При этом . При условиях (3.20), (3.21) из предположения следует Таким образом, при выполнении условий (3.16), (3.17) (так же как и условий (3.18), (3.19) или условий (3.20), (3.21)) система (3.8)-(3.9) эквивалентна системе (3.12), (3.15), т.е. эти условия гарантируют существование и единственность решения системы (3.8)-(3.9) и возможность нахождения этого решения методом прогонки. Кроме того, доказанные неравенства обеспечивают устойчивость счета по рекуррентным формулам (3.12). Последнее означает, что погрешность, внесенная на каком - либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Действительно, пусть в формуле (3.12) при вместо вычислена величина . Тогда на следующем шаге вычислений, т.е. при , вместо получим величину и погрешность окажется равной . Отсюда получим, что , т.е. погрешность не возрастает.
Дата добавления: 2014-12-25; Просмотров: 722; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |