Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия идеального газа

Внутренняя энергия идеального газа

Уравнение Майера

C _p – C_v = R.

U = .

Q = U + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу);

U – изменение внутренней энергии системы;

A – работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

– в общем случае

;

– при изобарном процессе

A = p (V ₂ – V ₁);

– при изотермическом процессе

A = RT ln ;

– при адиабатном процессе

или ,

где γ – показатель адиабаты, γ = C_P / C_V.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

pV ^γ = const, ;

.

Коэффициент полезного действия (КПД) цикла

η = ,

где Q ₁ – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя;

Q ₂ – теплота, переданная рабочим телом холодильнику.

КПД цикла Карно

η = = ,

где T ₁ и T ₂ – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

Разность энтропий двух состояний B и A определяется формулой

S = .

2.2.2 Примеры решения задач.

Пример 1 – Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм³ воды, и массу m ₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Дано:	Решение
H2O V = 1 мм^3= 10^-9 м^3	Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро N A и количество вещества ν, = ν N A. Так как ν = m /μ, где μ – молярная масса, то
N –? m 1 –? d –?

N = mN _A/μ. Выразив массу как произведение плотности на объем V, получим

N = ρ VN _A/μ.

Произведем вычисления, учитывая, что μ = 18·10^-3 кг/моль,

N = ·6,02·10²³ = 3,34·10¹⁹ молекул.

Массу m ₁ одной молекулы можно найти по формуле

m ₁ = μ/ N _A.

Находим массу молекулы воды

m ₁ = = 2,99·10^-26 кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V ₁ = d ³, где d –диаметр молекулы. Откуда

d = .

Объем V ₁ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т. е. на N _A V ₁ = V_m / N _A. Подставив V ₁ в формулу для d, получим

d = ,

где V_m = μ/ρ.

Тогда

d = .

Проверим, дает ли правая часть выражения единицу длины

= 1 м.

Произведем вычисления

d = = 3,11·10^-10 м = 311 пм.

Пример 2 – Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Е _к вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.

Дано:	Решение
О2 μ = 32·10^-3 кг/моль Т = 350 К m = 4·10^-3 кг	На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия =1/2 kT,
–? Е к–?	где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура газа.

Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

= 2· kT.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

Е _к = N.

Число всех молекул газа

N = N _A ν,

где N _A – постоянная Авогадро;

ν – количество вещества.

Так как количество вещества ν = m /μ, то формула для Е _к примет вид:

.

Произведем вычисления:

= kT = 1,38·10 ^-23·350 = 4,83·10^-21 Дж;

Е _к = 6,02·10²³· · 4,83·10 ^-21 = 364 Дж.

Пример 3 – Кислород массой m = 2 кг занимает объем V ₁ = 1 м³ и находится под давлением p ₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V ₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p ₃ = 0,5 МПа. Найти изменение U внутренней энергии газа, совершенную им работу A и теплоту Q, переданную газу.

Дано:	Решение
μ = 32·10^-3 кг/моль m = 2 кг p 1 = 0,2·10^6 Па V 1 = 1 м^3 V 2 = 3 м^3 p 3 = 0,5·10^6 Па	Изменение внутренней энергии газа U = CVm T = m T, где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5);
U –? A –? Q –?	T – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях, T = T 3 – T 1.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева–Клапейрона pV = RT, откуда

T = pV μ/(mR).

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

A ₁ = .

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

A ₂ = 0.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

A = A ₁ + A ₂ = A ₁.

Согласно первому началу термодинамики, теплота, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии U и работы A:

Q = U + A.

Произведем вычисления:

T ₁ = = 385 K;

T ₂ = = 1155 K;

T ₃ = = 2887 K;

A ₁ = = 0,4·10⁶ = 0,4 МДж; A = A ₁ = 0,4 МДж;

U = = 3,24·10⁶ = 3,24 МДж;

Q = 3,24 + 0,4 = 3,64 МДж.

Пример 4 – Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя T ₁ = 500 K. Определить КПД (η) цикла и температуру T₂ холодильника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу A = 350 Дж.

Дано:	Решение
T 1 = 500 K Q 1 = 10^3Дж A = 350 Дж	КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. КПД выражается формулой
η –? T 2 –?	η = A / Q 1,

где Q ₁ – теплота, полученная от нагревателя;

A – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле η = (T ₁– T ₂)/ T ₁ определить температуру холодильника T ₂

T ₂ = T ₁(1 – η).

Произведем вычисления:

η = 350 / 10 ³ = 0,35; T ₂ = 500 (1 – 0,35) = 325 K.

Дата добавления: 2014-12-25