Электростатика. Постоянный электрический ток

2.3.1 Основные формулы. Закон Кулона

F = ,

где F – сила взаимодействия точечных зарядов Q ₁ и Q ₂;

r – расстояние между зарядами;

ε – диэлектрическая проницаемость среды;

ε ₀ – электрическая постоянная.

Напряженность Е и потенциал φ электрического поля

; ,

где П – потенциальная энергия положительного точечного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

, .

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),

; ,

где – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i -м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,

, ,

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

E = 0; при r < R;

; при r = R;

; при r > R,

где Q – заряд сферы.

Линейная плотность заряда

τ = Q / l.

Поверхностная плотность заряда

σ = Q /S.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью τ, то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dQ = τdl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы

; ,

где – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность и потенциал φ поля, создаваемого распределенным зарядом:

; .

Интегрирование ведется вдоль всей длины L заряженной линии.

Напряженность поля, создаваемого прямой бесконечной равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

.

Связь потенциала с напряженностью:

– в общем случае

или ;

– в случае однородного поля

;

– в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией

.

Электрический момент диполя

,

где Q – заряд;

– плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂

A ₁₂ = Q (φ₁ – φ₂).

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда Q по замкнутому контуру L вследствие того, что силы являются консервативными, равна нулю:

.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру L равна нулю:

.

Электроемкость

C = Q/ φ или C = Q/U,

где φ – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю);

U – разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора

C = ε₀εS/d,

где S – площадь пластины (одной) конденсатора;

d – расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

– при последовательном соединении

;

– при параллельном соединении

,

где N – число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора

W = QU/ 2; W = CU ² / 2; W = Q ² / (2 C).

Сила постоянного тока

I = Q/t,

где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность тока

j = I/S,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью направленного движения заряженных частиц

j = Qn ,

где Q – заряд частицы;

n – концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:

– для участка цепи, не содержащего ЭДС

,

где – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи, ;

R – электрическое сопротивление участка;

– для участка цепи, содержащего ЭДС

,

где – ЭДС источника тока;

R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

– для замкнутой (полной) цепи

,

где R – внешнее сопротивление цепи;

r – внутреннее сопротивление цепи.

Законы Кирхгофа:

– первый закон

;

– второй закон

,

где – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле;

– алгебраическая сумма произведений сил токов на отдельных участках и сопротивления этих участков;

– алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление R и проводимость G проводника

R = ρl/S; G = γS/l,

где ρ – удельное сопротивление;

γ – удельная проводимость;

l – длина проводника;

S – площадь поперечного сечения проводника.

Зависимость сопротивления проводника от температуры

R = R ₀(1 + αt),

где R ₀ – сопротивление проводника при нулевой температуре;

α – температурный коэффициент сопротивления;

t – температура.

При последовательном соединении источников ЭДС в батарею складываются как поля их ЭДС

,

так и их внутренние сопротивления

.

Параллельное соединение N источников ЭДС используется, как правило, только для одинаковых источников. В этом случае ЭДС батареи равна ЭДС одного источника (), а внутреннее сопротивление батареи .

Сопротивление системы проводников:

– при последовательном соединении

;

– при параллельном соединении

,

где – сопротивление i -го проводника.

Работа тока

A = IUt; A = I ²Rt; A = U ²t/R.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, две последние – для участка, не содержащего ЭДС.

Мощность тока

P = IU; P = I ²R, P = U ²/R.

Закон Джоуля–Ленца

Q = I ²Rt.

Закон Ома в дифференциальной форме

,

где γ – удельная проводимость;

– напряженность электрического поля;

– плотность тока.

Связь удельной проводимости γ с подвижностью b ионов

γ = Qn (b₊ + b_–),

где Q – заряд иона;

n – концентрация ионов;

b ₊ и b _– – подвижности положительных и отрицательных ионов.

2.3.2 Примеры решения задач.

Пример 1 – Три точечных заряда Q ₁ = Q ₂ = Q ₃ = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q ₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы система зарядов находилась в равновесии?

Дано:	Решение
Q 1 = Q 2 = Q 3 = 1 нКл = 10^-9 Кл a = b = c = r	Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях.
Q 4 –?

Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q ₁, находился в равновесии. Заряд Q ₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

,

где , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q ₁ заряды Q ₂, Q ₃, Q ₄;

– равнодействующая сил и .

Так как силы F и F ₄ направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство можно заменить скалярным: F – F ₄ = 0, откуда F ₄ = F. Выразив в последнем равенстве F через F ₂ и F ₃ и учитывая, что F ₃ = F ₂, получим

.

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q ₂ = Q ₃ = Q ₁, найдем

,

откуда

.

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, cos α = cos 60⁰ = 1/2.

С учетом этого окончательная формула примет вид:

Q ₄ = Q ₁/ .

Произведем вычисления

Q ₄ = 10^-9/ Кл = 5,77∙10^-10 Кл.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 2. На тонком стержне длиной l = 20 см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q ₁ = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность заряда на стержне.

Дано: l = 20 см = 0,2 м a = 10 см = 0,1 м Q 1 = 40 нКл = 4∙10^-8 Кл F = 6 мкН = 6∙10 ^-6 Н	Решение Сила взаимодействия F заряженного стержня с зарядом Q 1 зависит от линейной плотности τ заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон
τ –?

Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (рисунок 1) малый участок dr с зарядом dQ = τ dr. Этот зарядможно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

.

Интегрируя это выражение в пределах от a до a + l, получаем

,

откуда

.

Выполним проверку размерности:

=

Найденная единица является единицей линейной плотности заряда.

Произведем вычисления:

Кл/м = 2,5·10^–9 Кл/м = 2,5 нКл/м.

Пример 3 – Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии a ₁ = 0,5 см и a ₂ = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Дано:	Решение Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала .
R = 1 см = 10^-2 м τ = 20 нКл/м =2∙10^-8 Кл/м a 1 = 0,5 см = 0,5∙10^-2 м a 2 = 2 см = 2∙10^-2 м
φ1 – φ2 –?

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

или .

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r₁ и r₂ от оси цилиндра:

.

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

.

Подставив в выражение для разности потенциалов, получим

или

.

Произведем вычисления, учитывая, что величины r ₁ и r ₂, входящие в формулу в виде отношения, можно выразить в сантиметрах (r ₁ = R + a ₁ = 1,5 см, r ₂ = R + a ₂= 3 см):

В.

Пример 4 – Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью V₁ = 10⁶м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.

Дано:	Решение
V 1 = 10^6 м/с n = 2 e = 1,6∙10^-19 Кл m e = 9,1∙10^-31 кг	Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда e на разность потенциалов U
U –?	A = eU.

Работа сил электрического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

,

где Т ₁ и Т ₂ – кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля;

m _e – масса электрона;

V₁ и V₂ – начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенств, получим

,

где n = V ₂/ V ₁.

Отсюда искомая разность потенциалов

.

Произведем вычисления:

U = = 8,53 В.

Пример 5 – Конденсатор емкостью C₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U ₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C ₂= 5 мкФ. Какая энергия W' израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Дано:	Решение
C1 = 3 мкФ = 3∙10^-6Ф U1 = 40 В C2 = 5 мкФ = 5∙10^-6 Ф	Энергия, израсходованная на образование искры, W' = W 1– W 2,
W' –?	где W 1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;

W₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W = (1/2) CU ²,

где C – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив энергии W ₁ и W ₂ и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

W = (1/2) C ₁ U ₁²–(1/2)(C ₁ + C ₂) U ₂²,

где U ₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U ₂ следующим образом:

.

Подставив выражение U ₂ в формулу для W ', найдем

, или .

Произведем вычисления

W' =. = 1,5 мДж.

Дата добавления: 2014-12-25