Обчислення площі поверхні обертання

Поверхня тіла обертання.

Об'єм тіла обертання

Об’єм тіла обертання.

Нехай навколо осі обертається криволінійна трапеція, обмежена неперервною лінією , відрізком і прямими і (див. рис. 190). Отримана фігура обертання називається тілом обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярною осі , проведеною через довільну точку осі ((), є круг з радіусом . Отже, .

(рис.190)

Застосовуючи формулу (41.6) об'єму тіла за площею паралельних перетинів, отримаємо

. (9.7.7)

Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції і прямими , то об'єм тіла, утвореного обертанням цієї трапеції навколо осі , по аналогії з формулою (9.7.7), дорівнює

. (9.7.8)

Приклад 9.7.7. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями навколо осі (див. рис.191).

(рис.191)

○ По формулі (9.7.8) знаходимо:

.

Нехай крива є графіком функції , де , а функція і її похідна неперервні на цьому відрізку.

Знайдемо площу поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі .

Застосуємо другу схему (метод диференціала).

(рис.192)

1. Через довільну точку проведемо площину П, перпендикулярну осі . Площина П перетинає поверхню обертання по колу з радіусом (див. рис. 192).

Величина поверхні частини фігури обертання, що лежить лівіше площини, є функцією від , тобто .

2. Дамо аргументу приріст . Через точку також

проведемо площину, перпендикулярну осі . Функція отримає приріст , зображений на рис. виді «поясочка».

Знайдемо диференціал площі , замінюючи утворену між перетинами фігуру усіченим конусом, твірна якого рівна , а радіуси основ рівні і . Площа його бічної поверхні рівна . Відкидаючи добутки , як нескінченно малу вищого порядку, ніж , отримаємо , або, оскільки , то .

3. Інтегруючи отриману рівність в межах від до , отримаємо

. (9.7.9)

Якщо крива задана параметричними рівняннями , то формула (9.7.9) для площі поверхні обертання прийме вигляд

.

Приклад 9.7.8. Знайти площа поверхні кулі радіусу .

○ Можна вважати, що поверхня кулі утворена обертанням півкола , навколо осі . По формулі (9.7.9) знаходимо

. ●

Приклад 9.7.9. Дано циклоїда

.

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням її навколо осі .

○ При обертанні половини дуги циклоїди навколо осі площа поверхні обертання дорівнює

,

тобто . Отже, .

Дата добавления: 2014-12-26