Заміна змінних у визначеному інтегралі

Формула Ньютона-Лейбніца.

Якщо ввести позначення , то формулу Ньютона-Лейбніца можна переписати так:

.

Формула Ньютона–Лейбница дає зручний спосіб обчислення визначеного інтеграла. Щоб обчислити визначений інтеграл від неперервної функції на відрізку , треба знайти її первісну функцію і узяти різницю значень цієї первісної на кінцях відрізка .

Простим і зручним методом обчислення визначеного інтеграла від неперервної функції є формула Ньютона-Лейбніца:

.

Застосовують цей метод у всіх випадках, коли може бути знайдена первісна функції для підінтегральної функції .

Наприклад. .

При обчисленні визначених інтегралів широко використовується метод заміни змінної і метод інтегрування по частинах.

Нехай для обчислення інтеграла від неперервної функції зроблена підстановка .

Теорема 9.5.1. Якщо:

1) Функція і її похідна неперервні при ;

2) Множиною значень функції при є відрізок ;

3) і ,

то

. (9.5.1)

□ Нехай є первісною для на відрізку . Тоді по формулі Ньютона-Лейбніца . Оскільки , то є первісною для функції . Тому по формулі Ньютона-Лейбніца маємо .■

Формула (9.5.1) називається формулою заміни змінної в визначеному інтегралі.

Відзначимо, що:

1) при обчисленні визначеного інтеграла методом підстановки повертатися до старої змінної не потрібно;

2) часто замість підстановки застосовують підстановку ;

3) не слід забувати міняти межі інтегрування при заміні змінних!

Приклад 9.5.1. Обчислити .

○ Покладемо , тоді . Якщо , то ; якщо , тоо . Тому

.●

Дата добавления: 2014-12-26