Інтегрування дробово-раціональних виразів. Найпростіші дроби

Дробово-раціональною функцією (або раціональним дробом) називається функція, рівна відношенню двох многочленів, тобто , де - многочлен степеня , а - многочлен степеня .

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менше степеня знаменника, тобто ; в протилежному випадку (якщо ) раціональний дріб називається неправильним.

Всякий неправильний раціональний дріб можна, шляхом ділення чисельника на знаменник, подати у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу , тобто .

Наприклад, – неправильний раціональний дріб. Розділимо чисельник на знаменник в стовпчик:

_ х⁴ –5х +9|х–2

х⁴–2х³ |х³ +2x² +4x+3

_ 2х³ –5х + 9

2х³–4х²

_4х² – 5х + 9

4х² – 8х

_ 3х + 9

3х – 6

15.

Отримаємо частку і залишок . Отже,

.

Правильні раціональні дроби вигляду

(I). ;

(II). ;

(III). (корені знаменника комплексні, тобто );

(IV). (, корені знаменника комплексні), де - дійсні числа, називаються найпростішими раціональними дробами I, II, III і IV типів.

Знайдемо інтеграли від найпростіших раціональних дробів.

1. (формула (2) таблиці інтегралів);

2. (формула (1));

Приклад 5. Знайти .

 . Зробимо підстановку . Тоді , і

.

Дата добавления: 2014-12-26