Властивості невизначеного інтеграла

Визначимо ряд властивостей невизначеного інтеграла, виходячи з його визначення.

1. Диференціал від невизначеного інтеграла, рівний підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла рівна підінтегральній функції:

, .

Завдяки цій властивості правильність інтеграції перевіряється диференціюванням. Наприклад, рівність

правильна, оскільки .

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції рівний сумі цієї функції і довільної сталої:

.

3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

, – стала.

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа неперервних функцій рівний алгебраїчній сумі інтегралів від складових функцій:

.

5. (Інваріантність формули інтеграції). Якщо , то й , де – довільна функція, що має неперервну похідну.

Приклад 1. Знайти інтеграл .



, де .

Приклад 2. Знайти інтеграл .

 .

56. Таблиця основних інтегралів.

Користуючись тим, що інтеграція – це дія, зворотна диференціюванню, можна отримати таблицю основних інтегралів шляхом обігу відповідних формул диференціального числення (таблиця диференціалів) і використовування властивостей невизначеного інтеграла.

Наприклад, оскільки

,

то

.

Інтеграли, що приводяться нижче в таблиці називаються табличними. Методи знаходження первісних (тобто інтеграції функції) зводяться до вказівки прийомів, що приводять даний (шуканий) інтеграл до табличного. Відзначимо, що в таблиці основних інтегралів змінна інтеграції може позначати як незалежну змінну, так і функцію від незалежної змінної (згідно властивості інваріантності формули інтеграції).

Таблиця основних інтегралів

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18.

Дата добавления: 2014-12-26