Найбільше і найменше значення функції в замкненій області

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого і найменшого значень (т.3. глобальний екстремум). Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.

Правило знаходження найбільшого і найменшого значень диференційованої в області функції полягає в наступному:

1. Знайти всі критичні точки функції, що належать і обчислити значення функції в них;

2. Знайти найбільше і найменше значення функції на кінцях області;

3. Порівняти всі знайдені значення функції і вибрати з них найбільше і найменше .

Приклад 2. Знайти щонайбільше і якнайменше значення функції в замкнутій області, обмеженій лініями:

, , , (див. рис. 7).

m Тут

1. Знаходимо всі критичні точки:

Рис. 7

Розв’язком системи є точки

Жодна із знайдених точок не належить області .

2. Досліджуємо функцію на межі області, що складається з ділянок (рис. 212).

На ділянці : , , де

, , . Значення функції , .

На ділянці :

, , де ,

, . Значення функції , .

На ділянці : ,

; ; . Значення функції

На ділянці : ,

Значення функції

3. Порівнюючи отримані результати, маємо: а

54. Поняття невизначеного інтеграла. Його геометричний зміст.

Множина всіх первісних функцій для називається невизначеним інтегралом від функції і позначається символом .

Таким чином, за означенням

.

Тут називається підінтегральною функцією, – підінтегральним виразом, – змінною інтеграції, – знак невизначеного інтеграла.

Операція знаходження невизначеного інтеграла від функції називається інтегруванням цієї функції.

Геометрично невизначений інтеграл є сімейством «паралельних кривих» (кожному числовому значенню відповідає певна крива сімейства) (див. рис. 166). Графік кожної первісної (кривої) називається інтегральною кривою.

Чи для всякої функції існує невизначений інтеграл?

Має місце теорема, що стверджує, що «будь-яка неперервна на функція має на цьому проміжку первісну», а отже, і невизначений інтеграл.

Дата добавления: 2014-12-26