Зауваження. Диференціювання функції кількох змінних, заданої неявно

Диференціювання функції кількох змінних, заданої неявно.

Функція називається неявною, якщо вона задається рівнянням

(2.11)

нерозв’язним щодо . Знайдемо частинні похідні і неявної функції , заданої рівнянням (2.11). Для цього, підставивши в рівняння замість функцію , отримаємо тотожність Частинні похідні по і по функції, тотожно рівній нулю, також рівні нулю:

( – вважаємо сталою)

( – вважаємо сталою)

звідки і

а) Рівняння вигляду (2.11) не завжди визначає одну змінну як неявну функцію двох інших. Так, рівняння визначає функції або , визначені в крузі , визначену в півколі при і т. д., а рівняння не визначає ніякої функції.

Має місце теорема існування неявної функції двох змінних:

Якщо функція і її похідні визначені і безперервні в деякій околі точки , причому , a , то існує окіл точки , в якій рівняння (2.11) визначає єдину функцію , неперервну і диференційовну в околі точки і таку, що .

б) Неявна функція однієї змінної задається рівнянням . Можна показати, що у випадку, якщо виконуються умови існування неявної функції однієї змінної (є теорема, аналогічна вищезгаданій), то похідна неявної функції знаходиться по формулі

(2.12)

Приклад 6. Знайти частинні похідні функції , заданої рівнянням .

m Тут

По формулах (2.12) маємо:

Приклад 7. Знайти , якщо неявна функція задана рівнянням

m Тут Отже

тобто

Дата добавления: 2014-12-26