Частинні похідні вищих порядків. Змішані похідні. Теорема Шварца

Частинний приріст і частинні похідні функції кількох змінних.

Нечай задана функція . Оскільки і – незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежній змінній приріст , зберігаючи значення незмінним. Тоді отримає приріст, який називається частинним приростом по і позначається . Отже Аналогічно одержуємо частинний приріст по :

Повний приріст функції визначається рівністю

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із символів:

Частинні похідні по в точці звичайно позначають символами

Аналогічно визначається і позначається частинна похідна від по змінні :

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції



45. Геометричний зміст функції кількох змінних.

Частинні похідні и називають частинними похідними першого порядку. Їх можна розглядати як функції від . Ці функції можуть мати частинні похідні, які називаються частинними похідними другого порядку. Вони визначаються і позначаються таким чином:

;

;

;

.

Аналогічно визначаються частинні похідні 3-го, 4-го і т. д. порядків.

Так ,

Частинна похідна другого або більш високого порядку, узята по різних змінних, називається змішаною частинною похідною. Такими є, наприклад

Приклад 2. Знайти частинні похідні другого порядку функції

m Оскільки і , то

. Виявилося, що . l

Цей результат не випадковий. Має місце теорема, яку наведемо без доведення.

Теорема 10.2.1 (Шварца). Якщо частинні похідні вищого порядку неперервні, то змішані похідні одного порядку, відмінні лише порядком диференціювання, рівні між собою. Зокрема, для маємо:

.

Дата добавления: 2014-12-26