КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Границя функції кількох змінних. Неперервність функції кількох зміннихФункції кількох змінних. Основні означення. Область визначення функції. Лінії і поверхні рівня. Визначення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних (x, y, z,..., t), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u. Якщо змінна є функцією від двох змінних х і у, то функціональну залежність позначають z = f (x, y). Змінні x, y, z,..., t називаються аргументами функції, безліч Е - областю визначення функції. Приватним значенням функції називається значення функції в деякій точці М 0 (x 0, y 0, z 0,..., t 0) і позначається f (М 0) = f (x 0, y 0, z 0,..., t 0). Областю визначення функції називається множина всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які справжні значення функції. Функція двох змінних z = f (x, y) в просторі представляється деякою поверхнею. Тобто, коли точка з координатами х, у пробігає всю область визначення функції, розташовану в площині хОу, відповідна просторова точка, взагалі кажучи, описує поверхню. Функцію трьох змінних u = F (x, y, z) розглядають як функцію точки деякої безлічі точок тривимірного простору. Аналогічно, функцію п змінних u = f (X, y, z,..., t) розглядають як функцію точки деякого п-мірного простору. Для функції двох (і більшого числа) змінних вводиться поняття границі функції і неперервності, аналогічно випадку функції однієї змінної. Введемо поняття околу точки. Множина всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності називається – околом точки . Іншими словами, -окіл точки - це всі внутрішні точки круга з центром і радіусом (див. рис. 2).
Рис. 2 Нехай функція визначена в деякому околі точки окрім, можливо, самої цієї точки. Число називається границею функції при при (або, що те ж саме, при ), якщо для будь-якого існує таке , що для всіх і задовольняють нерівність виконується нерівність . Записують: або З визначення витікає, що якщо границя існує, то вона не залежить від шляху, по якому прямує до (число таких напрямів нескінченне; для функції однієї змінної по двох напрямах: справа і зліва!) Геометричний зміст границі функції двох змінних полягає в наступному. Яке б не було число , знайдеться - окіл точки , що у всіх її точках , відмінних від аплікати відповідних точок поверхні відрізняються від числа по модулю менше ніж на . Приклад 1. Знайти границю . Будемо наближатися до по прямій , де – деяке число. Тоді Функція в точці границі не має, так як при різних значеннях границя функції не однакова (функція має різні граничні значення). Границя функції двох змінних володіє властивостями, аналогічними властивостям границі функції однієї змінної (див. п. 17.3). Це означає, що справедливі твердження: якщо функції і визначені на множині і мають в точці цієї множини межі і відповідно, то і функції , , мають в точці границі, які відповідно рівні , , .
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 1637; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |