Границя функції кількох змінних. Неперервність функції кількох змінних

Функції кількох змінних. Основні означення. Область визначення функції. Лінії і поверхні рівня.

Визначення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних (x, y, z,..., t), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u.

Якщо змінна є функцією від двох змінних х і у, то функціональну залежність позначають

z = f (x, y).

Змінні x, y, z,..., t називаються аргументами функції, безліч Е - областю визначення функції.

Приватним значенням функції називається значення функції в деякій точці М ₀ (x _0, y _0, z _0,..., t ₀₎ і позначається f (М ₀₎ = f (x _0, y _0, z _0,..., t ₀₎.

Областю визначення функції називається множина всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які справжні значення функції.

Функція двох змінних z = f (x, y) в просторі представляється деякою поверхнею. Тобто, коли точка з координатами х, у пробігає всю область визначення функції, розташовану в площині хОу, відповідна просторова точка, взагалі кажучи, описує поверхню.

Функцію трьох змінних u = F (x, y, z) розглядають як функцію точки деякої безлічі точок тривимірного простору. Аналогічно, функцію п змінних u = f (X, y, z,..., t) розглядають як функцію точки деякого п-мірного простору.

Для функції двох (і більшого числа) змінних вводиться поняття границі функції і неперервності, аналогічно випадку функції однієї змінної. Введемо поняття околу точки. Множина всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності називається – околом точки . Іншими словами, -окіл точки - це всі внутрішні точки круга з центром і радіусом (див. рис. 2).

Рис. 2

Нехай функція визначена в деякому околі точки окрім, можливо, самої цієї точки. Число називається границею функції при при (або, що те ж саме, при ), якщо для будь-якого існує таке , що для всіх і задовольняють нерівність виконується нерівність . Записують: або

З визначення витікає, що якщо границя існує, то вона не залежить від шляху, по якому прямує до (число таких напрямів нескінченне; для функції однієї змінної по двох напрямах: справа і зліва!)

Геометричний зміст границі функції двох змінних полягає в наступному. Яке б не було число , знайдеться - окіл точки , що у всіх її точках , відмінних від аплікати відповідних точок поверхні відрізняються від числа по модулю менше ніж на .

Приклад 1. Знайти границю .

 Будемо наближатися до по прямій , де – деяке число. Тоді

Функція в точці границі не має, так як при різних значеннях границя функції не однакова (функція має різні граничні значення).

Границя функції двох змінних володіє властивостями, аналогічними властивостям границі функції однієї змінної (див. п. 17.3). Це означає, що справедливі твердження: якщо функції і визначені на множині і мають в точці цієї множини межі і відповідно, то і функції , , мають в точці границі, які відповідно рівні , , .

Дата добавления: 2014-12-26