Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Границя функції кількох змінних. Неперервність функції кількох змінних




Функції кількох змінних. Основні означення. Область визначення функції. Лінії і поверхні рівня.

Визначення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних (x, y, z,..., t), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u.

Якщо змінна є функцією від двох змінних х і у, то функціональну залежність позначають

z = f (x, y).

Змінні x, y, z,..., t називаються аргументами функції, безліч Е - областю визначення функції.

Приватним значенням функції називається значення функції в деякій точці М 0 (x 0, y 0, z 0,..., t 0) і позначається f (М 0) = f (x 0, y 0, z 0,..., t 0).

Областю визначення функції називається множина всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які справжні значення функції.

Функція двох змінних z = f (x, y) в просторі представляється деякою поверхнею. Тобто, коли точка з координатами х, у пробігає всю область визначення функції, розташовану в площині хОу, відповідна просторова точка, взагалі кажучи, описує поверхню.

Функцію трьох змінних u = F (x, y, z) розглядають як функцію точки деякої безлічі точок тривимірного простору. Аналогічно, функцію п змінних u = f (X, y, z,..., t) розглядають як функцію точки деякого п-мірного простору.

Для функції двох (і більшого числа) змінних вводиться поняття границі функції і неперервності, аналогічно випадку функції однієї змінної. Введемо поняття околу точки. Множина всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності називається – околом точки . Іншими словами, -окіл точки - це всі внутрішні точки круга з центром і радіусом (див. рис. 2).

 

Рис. 2

Нехай функція визначена в деякому околі точки окрім, можливо, самої цієї точки. Число називається границею функції при при (або, що те ж саме, при ), якщо для будь-якого існує таке , що для всіх і задовольняють нерівність виконується нерівність . Записують: або

З визначення витікає, що якщо границя існує, то вона не залежить від шляху, по якому прямує до (число таких напрямів нескінченне; для функції однієї змінної по двох напрямах: справа і зліва!)

Геометричний зміст границі функції двох змінних полягає в наступному. Яке б не було число , знайдеться - окіл точки , що у всіх її точках , відмінних від аплікати відповідних точок поверхні відрізняються від числа по модулю менше ніж на .

Приклад 1. Знайти границю .

 Будемо наближатися до по прямій , де деяке число. Тоді

Функція в точці границі не має, так як при різних значеннях границя функції не однакова (функція має різні граничні значення).

Границя функції двох змінних володіє властивостями, аналогічними властивостям границі функції однієї змінної (див. п. 17.3). Це означає, що справедливі твердження: якщо функції і визначені на множині і мають в точці цієї множини межі і відповідно, то і функції , , мають в точці границі, які відповідно рівні , , .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 1637; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.006 сек.