Застосування повного диференціала для наближених обчислень

Повний приріст і повний диференціал функції кількох змінних.

Повний приріст, приріст, що набуває функцією декілька змінних, коли всі аргументи отримують (взагалі кажучи, не нульові) прирости D x ₁ , D x ₂ ..., D x _n. За деяких умов (наприклад, якщо всі приватні похідні безперервні).

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Складемо повний приріст функції в точці :

Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді

, (2.1)

де і при

Сума перших двох доданків в рівності (2.1) представляє собою головну частину приросту функції.

Головна частина приросту функції , лінійна відносно і називається повним диференціалом цієї функції і позначається символом :

Приклад 3. Обчислити приблизно: .

 Розглянемо функцію . Тоді , де , , . Скористаємося формулою (2.7), заздалегідь знайшовши і Отже,

Для порівняння: використовуючи мікрокалькулятор, знаходимо:

і 1,061418168.

Відзначимо, що за допомогою повного диференціала можна знайти: межі абсолютної і відносної похибок в наближених обчисленнях; наближене значення повного приросту функції і т. д.

Дата добавления: 2014-12-26