Опуклість та вгнутість, точки перегину графіка функції

Опуклість та вгнутість кривої- крива на проміжку наз. опуклою(вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче(вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

Точка перегину- точка яка відокремлює випуклу частину кривої від вгнутої.

Якщо крива, задана рівнянням в кожній точці деякого проміжку вгнута догори, її називають вгнутою на цьому проміжку; якщо крива в кожній точці проміжку вгнута донизу, її називають опуклою на даному проміжку.

Не всяка крива має точку перегину. Іноді крива може мати тільки одну, а іноді кілька точок перегину, навіть нескінченну множину.

Для того, щоб знайти точки перегину кривої, заданої рівнянням , треба:

1) визначити від функції похідну другого порядку і прирівняти її до нуля . З коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні корені і ті, які належать області існування функції;

2) в околі кожного вибраного таким чином кореня визначити знак похідної другого порядку спочатку при значеннях , менших від розглядуваного кореня, а потім при значеннях , більших за даний корінь. Якщо при переході через вибраний корінь похідна змінює знак, то точка є точкою перегину заданої кривої. Якщо при переході через знак похідної другого порядку не змінюється, то не є точкою перегину кривої.

Зокрема, якщо при переході через змінює знак “+” на “-”, то крива при проходженні через точку перегину змінює відповідно свій вигляд із вгнутості на опуклість. Якщо при переході через змінює знак “-” на “+”, то крива при проходженні через точку перегину змінює відповідно свій вигляд з опуклості на вгнутість.

Дата добавления: 2014-12-26