Максимум і мінімум функції. Умови існування екстремуму. Дослідження функції на екстремум

Якщо існує інтервал , де , який міститься у проміжку і такий, що для всіх з інтервалу , то точку називають точкою максимуму функції , а саме число - максимумом функції .

Якщо існує інтервал , де , який міститься у проміжку і такий, що для всіх з інтервалу , то точку називають точкою мінімуму функції , а саме число - мінімумом функції .

Стаціонарними точками називають точки в яких похідна функції рівна нулю.

Точки максимуму і мінімуму функції називають екстремальними точками.

Екстремумом функції називають її максимум і мінімум.

Теорема1: Якщо функція у внутрішній точці проміжку має похідну і то функція в точці зростає (спадає).

Теорема2: Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує, дорівнює нулю.

Теорема3: Нехай - стаціонарна точка функції , яка в цій точці є неперервною, і існує окіл точки , в якому має похідну . Тоді:

1) якщо в інтервалі , а в інтервалі похідна , то є точкою максимуму функції ;

2) якщо в інтервалі , а в інтервалі , то є точкою мінімуму функції ж

3) якщо в обох інтервалах і похідна має той самий знак, то не є екстремальною точкою функції .

Теорема4: Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю, Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .

Друге правило: Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки заданої функції;

2) знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці.

Якщо при цьому в стаціонарній точці то є екстремальною точкою для функції , а саме: точкою мінімуму, якщо і точкою максимуму, якщо

Приклад 1. Дослідити функцію на екстремум.

Дата добавления: 2014-12-26