Розкриття невизначеностей різних видів

Теорема 7.1.5 (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей вигляду). Нехай функції і неперервні і диференційовані в точці хо (окрім, може, бути, точки хо), і в цьому околі,. Якщо існує границя то.

Теорема 7.1.4. (правило Лопіталя розкриття невизначеностей вигляду). Нехай функція і неперервна і диференційована в околі і обертаються в нуль в цій точці:. Нехай в околі точки. Якщо існує границя, то.

Правила Лопіталя

Правило Лопіталя. Розкриття невизначеностей різних типів.

Розглянемо спосіб розкриття невизначеностей вигляду і, який заснований на застосуванні похідних.

□ Застосуємо до функцій і теорему Коші для відрізка , що лежить в околі точки х_о. Тоді , де с лежить між х_о і х (Рис.144). Враховуючи, що , одержуємо

При, величина з також прагне до; перейдемо в рівності (25.4) до границі:

.

Рис. 144.

Оскільки , то. Тому .

Коротко отриману формулу читають так: межа відношення двох нескінченно малих рівна границі відношення їх похідних, якщо останній існує.■

Зауваження: 1. Теорема 7.1.4 вірна і у разі, коли функції і не визначені при, але і. Достатньо, поклавши, отримаємо

.

3. Якщо похідні і , теорему 7.1.4 можна застосувати ще раз:

і т.д.

Приклад 7.1.2. Знайти .

○ .●

Приклад 7.1.3. Знайти .

○ .●

Теорема 7.1.4 дає можливість розкривати невизначеність вигляду . Сформулюємо без доказу теорему про розкриття невизначеність вигляду.

Приклад 7.1.4. Знайти .

○

2-й спосіб:

●

Правило Лопіталя застосовується для розкриття невизначеностей вигляду , які називають основними. Невизначеності вигляду, зводяться до двох основних видів шляхом тотожних перетворень.

1. Нехай при. Тоді очевидні наступні перетворення:

(або).

Наприклад:

2. Нехай при. Тоді можна поступити так:

На практиці простіше, наприклад

3. Нехай або і або , і або , і при Для знаходження границі вигляду зручно спочатку прологарифмувати вираз

Приклад 7.1.5 Знайти

○ Маємо невизначеність вигляду. Логарифмуємо вираз, отримаємо: Потім знаходимо межу:

, тобто Звідси, і.

Розв’язання можна оформити коротше, якщо скористатися «готовою формулою»

(використана основна логарифмічна тотожність: ).●

Приклад 7.1.4. Знайти .

○

●

Приклад 7.1.7 Нехай

Знайти (Додатково: знайти )

○ При маємо

.

При за визначенням похідної:

Робимо заміну і застосовуємо правило Лопіталя

Таким чином

Аналогічно можна показати, що ●

Дата добавления: 2014-12-26