Диференціали вищих порядків

Правила знаходження диференціала

З правил знаходження похідної випливають правила знаходження диференціала. Якщо функції , -диференційовні в точці х, то

1) .

2) .

Зауваження. , де .

3) , .

Геометричний зміст диференціала

Нехай , та існує . За означенням диференціала .

Рис. 3.4

Скористаємося геометричним змістом похідної: . З трикутника маємо: або . Але , тому . Отже, диференціал функції в точці визначає приріст ординати дотичної до кривої в точці при переході від абсциси до абсциси (рис. 3.4).

Нехай функція диференційовна на проміжку X. Її диференціал називається також диференціалом першого порядку і його можна розглядати як функцію змінної x (приріст аргументу вважається сталим).

Означення 3.4. Диференціалом другого порядку функції в точці x називається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім ) і позначається :

.

За означенням маємо

,

позначають . Таким чином

.

Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається ), n =2,3,... називається диференціал від диференціала порядку за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости незалежної змінної x. Тобто

.

При цьому справедлива формула:

. (3.17)

Приклад 3.20. Обчислити , якщо .

Розв’язання. Скористаємось формулою (3.16). Для цього знайдемо :

, .

Отже

.

Дата добавления: 2014-12-26