Властивості функцій, неперервних в точці

Оскільки точки неперервності функції задаються умовою , то частина властивостей функцій, неперервних в точці , слід безпосередньо з властивостей меж. Сформулюємо їх у вигляді наступної теореми.

Теорема 3.1 Нехай функції і неперервні в точці . Тоді функції

, , неперервні в точці. . Якщо, , то функція також неперервна в точці .

Доказ. Воно відразу ж випливає з теорем про межах 2.8, 2.9, 2.10 і слідства 2.5.

Як безпосереднє наслідок цієї теореми виходить наступне

Пропозиція 3.3 Розглянемо множину всіх функцій, визначених у деякої фіксованої околиці точки і безперервних в цій точці. Тоді ця множина є лінійним простором, тобто замкнуто щодо складання і множення на постійні:

Доведення. Дійсно, постійні і - це безупинної функції (в будь-якій точці); по попередній теоремі тоді безупинної у точці похідна і . Але тоді по цій же теоремі безупинної у точці і сума .

Теорема 3.2 Нехай функції и такі, що існує композиція , . Нехай функція неперервна в точці , а функція неперервна в відповідній точці . Тоді композиція неперервна в точці .

Доказ. Зауважимо, що рівність означає, що при буде . Значить, ((Останнє рівність випливає з безперервності функції. в точці ). Значить, а це рівність означає, що композиція неперервна в точці .

Зауважимо, що, очевидно, в попередніх двох теоремах можна було б замінити базу на односторонні бази або й отримати аналогічні затвердження для безперервності зліва чи справа.

Дата добавления: 2014-12-26