Диференціал функції

Розв’язання.

Похідні вищих порядків від функцій, що задані.

Похідні вищих порядків від функцій, що задані неявно.

Похідні вищих порядків.

Логарифмічне диференціювання.

Диференціювання неявних та параметричних функцій.

Якщо функції і параметрично задають функцію , то похідні , , можна послідовно обчислити за формулами:

, і т. д.

Так, для похідної другого порядку має місце формула:

. (3.15)

Приклад 3.19. Знайти похідну функції , заданої параметрично: , .

.

за формулою (3.15)

.

32. Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала.

Нехай функція має в даній точці скінченну похідну . Тоді , де , якщо . Звідки .

Якщо - нескінченно малий приріст, то доданок є нескінченно малим вищого порядку, ніж доданок і якщо , то і -нескінченно малі одного порядку.

Означення 3.3. Якщо функція має похідну в точці , то вираз називається диференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом . Тобто, .

Зауваження. Диференціал функції в даній точці є головною лінійною частиною приросту функції, пропорційною приросту аргументу з коефіцієнтом пропорційності : .

Диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто .

Для будь-якої диференційовної в точці х функції формулу (3.10) можна записати так: .

Звідки отримаємо, що , тобто похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів.

Дата добавления: 2014-12-26