Наслідок 7.1.2. Якщо дві функції мають рівні похідні на деякому проміжку, то вони відрізняються один від одного на постійну сталу

Наслідок 7.1.1 Якщо похідна функції рівна нулю на деякому проміжку, то функція постійна на цьому проміжку.

Нехай для . Візьмемо довільні х1 і х2 з і нехай . Тоді по теоремі Лагранжа така, що . Але по умові , отже, де . Тому маємо , тобто . А оскільки х1 і х2 - довільні точки з інтервалу , то маємо .■

Нехай при . Тоді . Отже, згідно слідству 25.1, функція є постійна, тобто для ■

Приклад 7.1.1. Довести, що, де .

○ Нехай . Тоді маємо . Звідси витікає, що , тобто . Поклавши х=0, знаходимо , тобто.

Тому . Ця рівність виконується і при

Аналогічно доводиться, що.

Формулі Лагранжа можна надати інший вигляд. Застосувавши теорему Лагранжа до відрізка , матимемо

.

Кожне число можна записати у вигляді, де Формула (25.3) прийме вигляд

,

Виконуючи теорему Лагранжа, можна оцінити точність наближеної рівності. Зробимо це, вважаючи, що функція має не парну другу похідну:

,

де (Рис. 143).

Отже . Нехай. Оскільки , а , то одержуємо оцінку .●

Рис. 143.

Дата добавления: 2014-12-26