Теореми про функції, що диференціюються. (Теорема Роля, теорема Коші, теорема Лагранжа

Розглянемо ряд теорем, що мають велике теоретичне і прикладне значення.

Теорема 7.1.1 (Ролль). Якщо функція неперервна на відрізку, що диференціюється на інтервалі і на кінцях відрізка приймає однакові значення, то знайдеться хоча б одна точка, в якій похідна звертається в нуль, тобто.

Оскільки функція неперервна на відрізку, то не досягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень, відповідно, М і т. Якщо М=т, то функція постійна на і, отже, її похідна в будь-якій точці відрізка .

Якщо , то функція досягає хоча б одного із значень М абот у внутрішній точці з інтервалу, оскільки.

Нехай, наприклад, функція приймає значення М в точці, тобто . Тоді для всіх

Рис.139 Рис.140 Рис. 141

виконується співвідношення

Знайдемо похідну в точці х=с:

.

Через умову (7.1.1) вірно нерівність. Якщо (тобто праворуч від точки х=с), то

і тому.

Якщо то

і.

Таким чином.

У випадку, доказ аналогічний.

Геометрична теорема Ролля означає, що на графіку функції знайдеться точка, в якій дотична до графіка паралель осі Ох (див. Рис. 139 і 140). На малюнку 141 таких крапок дві.

Дата добавления: 2014-12-26