Похідна оберненої функції

Похідна складеної функції

Похідна складної і оберненої функцій.

Нехай функція визначена в деякому околі точки і функція визначена в деякому околі точки , таким чином визначена складена функція .

Теорема 3.3. Якщо функція має похідну в точці і функція має похідну в точці , то складена функція також має похідну в точці , причому

або скорочено

Доведення. За означенням маємо:

.

Приклад 3.5. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Приймаючи , маємо:

Тут враховано, що також складена функція і тому за формулою (3.6) вона має похідну .

Теорема 3.4. Якщо функція , , має обернену і для всіх існує похідна , то для всіх існує похідна , причому справедлива рівність:

або , . (3.7)

Доведення. З означення похідної маємо:

, тобто , .

26. Похідна основних елементарних функцій. Таблиця похідних.

На основі визначення похідної і правил диференціювання можна скласти таблицю похідних основних елементарних функцій. Нехай u = u (x).

Дата добавления: 2014-12-26