Властивості функцій, неперервних на відрізку

Неперервність складеної функції в точці.

Теорема 2.20. Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то складена функція неперервна в точці .

Доведення. Справді, оскільки функція неперервна в точці , то ; -неперервна в точці , тому . А це означає, що функція неперервна в точці .

Теорема 2.21. (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона:

1) обмежена (bounded function) на цьому відрізку;

2) досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значень (рис. 2.6).

, ; .

Рис. 2.6

Теорема 2.22. (Больцано - Коші). Якщо функція неперервна на відрізку і , то всередині відрізка існує принаймні одна точка с, в якій функція набуває рівного С значення (рис. 2.7).

.

Рис. 2.7

Наслідок з теореми Больцано - Коші. Якщо функція неперервна на відрізку і в його кінцевих точках набуває різних за знаком значень, то всередині відрізка існує принаймні одна точка, в якій значення функції дорівнює нулю (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Дата добавления: 2014-12-26