Теорема про границю

Еквівалентність нескінченно малих функцій.

Серед нескінченно малих функцій одного порядку особливу роль грають так звані еквівалентні нескінченно малі.

Якщо , то і називається еквівалентними нескінченно малим (при ); це позначається так: ~ .

Наприклад, sinx~x при , оскільки; tgx~x при , оскільки.

Теорема 18.1. Границя відношення двох нескінченно- малих функцій не зміниться, якщо кожну або одну з них замінити еквівалентній їй нескінченно малою.

□ Нехай a ~ a ^’ і b ~ b^' при . Тоді

, тобто .

Очевидно також, що .■

Теорема 18.2. Різниця двох еквівалентних нескінченно малих функцій є нескінченно мала більш високого порядку, ніж кожна з них.

□ Нехай a ~ b при Тоді

,

аналогічно . ■

Приклад 18.5. Знайти границю .

○ Оскільки 3х+7х2~3х і sin 2x~2x при .

Розглянемо теореми, які полегшують знаходження границь функції. Формулювання і доведення теорем для випадків, коли і, аналогічне. В теоремах, що приводяться, вважатимемо, що границі

існують.

Теорема 17.7. Границі суми(різниці) двох функцій рівний сумі (різниці) їх границь:

Теорема спарведлива для суми алгебри будь-якого кінцевого числа функцій.

Наслідок 17.3. Функція може мати тільки одну границю при .

Нехай і . По теоремі 17.7 маємо:

.

Звідси А-В=0, тобто А=В.

Теорема 17.8. Границя добутку двох функцій рівна добутку їх границь:

Відзначимо, що теорема справедлива для добутку будь-якого кінцевого числа функцій.

Наслідок 17.4. Постійний множник можна виносити за знак границі:

Дата добавления: 2014-12-26