Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих функцій

Функція називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого числа M>0 існує число , що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність . Записують або при .

Наприклад, функція є н.в.ф. при х®2.

Якщо f(x) прагне нескінченності при і приймає лише додатні значення, то пишуть ; якщо лише від’ємні значення, то

Функція , задана на всій числовій прямій, називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого числа М>0 знайдеться таке число N=N(M)>0, що при всіх х, задовольняючих нерівності |x|>N, виконується нерівність .

Функція називається нескінченно малою при , якщо

(17.1)

За означенням границі функції рівність (17.1) означає: для будь-якого числа e>0 знайдеться таке, що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність .

Аналогічно визначається н.м.ф. при , , , : у всіх цих випадках .

Нескінченно малі функції часто називають нескінченно малими величинами або нескінченно малими; позначають звичайно грецькими буквами a,b і т.д.

Як відомо, сума, різниця і добуток двох н.м.ф. є функція нескінченно мала. Відношення ж двох н.м.ф. може поводитися різним чином: бути кінцевим числом, бути нескінченно великою функцією, нескінченно малої або взагалі не прагнути ні якої границі.

Дві н.м.ф. порівнюються між собою за допомогою їх відношення.

Нехай є н.м.ф. при , тобто і

1. Якщо , то і називаються нескінченно малими одного порядку.

2. Якщо , то називається нескінченно малою більш високого порядку, ніж .

3. Якщо , то називається нескінченно малою більш низького порядку, ніж .

4. Якщо не існує, то і називаються незрівнянними нескінченно малими.

Відзначимо, що такі ж правила порівняння н.м.ф. при , .

Приклад 18.1. Порівняти порядок функцій при

○ При це н.м.ф. одного порядку, оскільки

Говорять, що н.м.ф. a і b одного порядку прагнуть нуля з приблизно однаковою швидкістю.

Дата добавления: 2014-12-26