Друга чудова границя

Як відомо, границя числової послідовності, , має границю, рівній е (див.(15.6)):

(17.14)

Доведемо, що числа е прагне і функція при (х є R):

(17.15)

1. Нехай Кожне значення х знаходиться між двома додатними цілими числами :, де - це ціла частина х. Звідси слідує

.

Якщо , то . Тому, згідно (17.14), маємо:

За ознакою (про границю проміжної функції) існування границь

. (17.16)

1. Нехай . Зробимо підстановку , тоді

(17.17)

З рівності (17.16) і (17.17) випливає рівність (17.15).

Якщо в рівності (17.15) покласти (), воно запишеться у вигляді

(17.18)

Рівність (17.15) і (17.18) називаються другою чудовою границею. Вони широко використовуються при обчисленні границь. В додатках аналізу велику роль грає показникова функція з підставою е. Функція y=xe називається експоненціальною, вживається також позначення ex=exp(x).

Приклад 17.8. Знайти

○ Позначимо x=2t, очевидно, t®¥ при . Маємо

Дата добавления: 2014-12-26