Розв’язання

Неперервність функції

Неперервність функції. Неперервність функції в точці і на відрізку. Властивості функцій неперервних в точці.

Означення 2.8. Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

, або . (2.7)

Приклад 2.30. Дослідити на неперервність функцію в точці .

Якщо , то ; - величина обмежена, тому, за теоремою 2.4, . Отже, , і тому, за означенням 2.8, функція - неперервна в точці .

Неперервність функції в точці можна означити і по-іншому.

Означення 2.9. Функція називається неперервною в точці , якщо вона має в цій точці границю, яка дорівнює значенню функції в точці , тобто

. (2.8)

Рівність (2.8) можна деталізувати: границя зліва в точці має дорівнювати границі справа і дорівнювати значенню функції в цій точці:

. (2.8*)

Означення 2.10. Функція називається неперервною на проміжку (continuous function oninterval), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Арифметичні операції над неперервними функціямиприводять знову до неперервних функцій.

Теорема 2.19. Якщо функції і є неперервними в точці , тоді неперервними в цій точці будуть також функції:

1) , ;

2) ;

3) за додаткової умови .

Доведення. Нехай функції , -неперервні в точці . Тоді, за означенням 2.9, , . Використаємо теореми про арифметичні операції над функціями, що мають границю:

1) ;

2) ;

3) .

Бачимо, що означення 2.9 виконується в кожному з цих випадків. Тобто ми показали, що при виконанні арифметичних дій над неперервними функціями ми знову отримаємо неперервні функції.

Дата добавления: 2014-12-26