Інтегрування ірраціональних виразів. Інтегрування диференціальних біномів

Інтегрування раціональних дробів

Приклад 7. Знайти інтеграл .

 Під знаком інтеграла неправильний дріб; виділимо його цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник:

_ x⁵ +2x³ +4x+4|x⁴ +2x³ +2x²

х⁵+2x⁴ +2x³ |x–2

_–2x⁴ +4x+4

–2x⁴–4x³–4x²

4x³+4x²+4x+4 (остача).

Отримаємо:

Розкладемо правильний раціональний дріб на найпростіші дроби:

,

, тобто

.

Звідси слідує, що

Знаходимо: . Отже

, і

.

Інтегруємо отриману рівність:

.

Позначимо , тоді і . Таким чином

.

Отже

.

Відзначимо, що будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функціях.

Розглянемо деякі типи інтегралів, що містять ірраціональні функції.

Інтеграли типу , називають невизначеними інтегралами від квадратичних ірраціональностей. Їх можна знайти таким чином: під радикалом виділити повний квадрат

і зробити підстановку . При цьому перші два інтеграли приводяться до табличних, а третій – до суми двох табличних інтегралів.

Приклад 1. Знайти інтеграли .

 Оскільки , то .

Зробимо підстановку , , . Тоді

.

Дата добавления: 2014-12-26