Понятие об эффекте фактора

Факторы эксперимента.

1. Под экспериментом в контексте данного раздела будем понимать получение данных об исследуемом объекте в процессе многократной реализации искусственно созданной или контролируемой и неограниченно воспроизводимой совокупности внешних условий. Схематично модель системы «объект-эксперимент» можно представить, как показано на рис. 2.1.1.

ИО

Рис. 2.1.1. Кибернетическая модель исследуемого объекта

Основоположником планирования эксперимента принято считать английского математика Р. Фишера, который в своей работе «Планирование эксперимента и его статистическая основа» сформулировал основные принципы использования аппарата дисперсионного анализа для обработки результатов и оптимизации сельскохозяйственных экспериментов, главным образом, в растениеводстве. В связи с этим, сформировавшаяся в планировании эксперимента терминология во многом сохранила отпечаток этого исторически первого объекта исследования, как, например, «планы с расщепленными делянками», «эффект способа обработки», «эффект дозы» и т.д. Специфика данного объекта очевидно такова, что конечный результат – урожай (Y на рис. 2.1.1) – зависит, как правило, от множества внешних условий – факторов (Х_i на рис.2.1.1): сорт растений, состав почвы, агротехнические приемы и т.д. Кроме того, влияние оказывают погодно-климатические и другие неподдающиеся управлению и контролю воздействия – случайные факторы (Z_k на рис. 2.1.1). Другими немаловажными обстоятельствами являются принципиальная ограниченность в объеме исходного статистического материала и то, что для повторения эксперимента необходимо ждать как минимум год. Таким образом, вероятностной моделью в планировании эксперимента является интерпретация зависимости Y (X ₁,... X _n) как стохастической. Причем, задача установления причинно-следственных связей, т.е. какого-либо естественно-научного механизма в данной зависимости, изначально не рассматривалась в качестве осуществимой, как, например, в статистической физике.

Доказав свою эффективность в сельском хозяйстве, математическое планирование эксперимента стало с успехом применяться в биологии, медицине, а затем при оптимизации технологических и других производственных процессов. Такой подход к исследованию многофакторных систем получил название кибернетического (безотносительно природы причинно-следственных связей). Таким образом, основные исходные понятия планирования эксперимента заключаются в следующем. Факторы эксперимента (или просто факторы) – входные параметры системы, непосредственно формирующие выходной параметр – отклик. Откликов, вообще говоря, может быть несколько, но в дальнейшем ограничимся рассмотрением ситуации с одним.

Основные требования к факторам:

· измеримость – возможность непосредственной количественной оценки;

· возможность контролирования постоянного значения (на фиксированном уровне) в процессе единичной реализации эксперимента;

· априорная взаимная независимость.

Факторы подразделяются на два типа:

· Факторы с количественными уровнями (температура, давление, ток и т.д.).

· Факторы с альтернативными уровнями, т.е. такие, которые можно лишь пронумеровать натуральными числами (способы обработки, индивидуальные технологические линии, контролеры-операторы и т.д.).

К отклику предъявляется по существу единственное требование – однозначная измеримость.

2. Помимо факторов на формирование отклика оказывают влияние и другие входные параметры, остающиеся вне поля зрения экспериментатора (Z на рис. 2.1.1). Поэтому существует опасность ошибочной интерпретации результатов эксперимента, так называемого «ложного эффекта», когда флуктуация неконтролируемых входных параметров приводит к значимому изменению отклика и воспринимается как результат воздействия факторов. Эта проблема особенно актуальна при проведении серии параллельных испытаний (повторении откликов) на всех или нескольких сочетаниях уровней факторов. Для сведения к минимуму возможности подобных ошибок применяется рандомизация – установление случайной очередности реализации индивидуальных опытов. Например, если единственный фактор варьируется на четырех уровнях, и на каждом уровне проводится серия из двух повторных испытаний, то очередность осуществления восьми индивидуальных испытаний определяется случайной последовательностью натуральных чисел 1 8, получаемой с помощью генератора случайных чисел. «Физически» этот процесс можно представить как случайную выборку без возвращения восьми пронумерованных шаров из лототрона. В результате рандомизации возможные флуктуации неконтролируемых факторов равномерно распределяются по всей совокупности индивидуальных значений отклика и проявляют себя как увеличение случайной ошибки (погрешности) эксперимента.

3. Совокупность исходных данных, полученных в процессе эксперимента, представляет собой выборку, расслоенную на группы (подвыборки). Группообразующим признаком является постоянство сочетания уровней факторов, при котором были получены индивидуальные значения. Такая группа образует элементарную ячейку эксперимента. В различных ячейках может содержаться, вообще говоря, неодинаковое число значений. В вырожденном случае ячейка может содержать одно значение.

Условимся факторы обозначать заглавными буквами A, B, C,…, а прописными a, b, c,…- количество уровней соответствующего фактора. Количество ячеек при этом очевидно составит a …, в каждой из которых содержится индивидуальных значений. И, наконец, общее количество индивидуальных значений условимся обозначать N.

Представим для наглядности структуру результатов однофакторного эксперимента, где фактор А варьируется на а уровнях, в виде табл. 2.1.1.

Таблица 2.1.1. Структура результатов

однофакторного эксперимента

j \ i			…	a
			…
			…
			…
…	…	…	…	…

Столбцы в табл. 2.1.1 являются элементарными ячейками с индивидуальными значениями в каждой. В качестве наилучшей оценки значения отклика на i -м уровне фактора естественно принять групповые средние

(2.1.1)

Внутригрупповую изменчивость , поскольку она не обусловлена никакими контролируемыми воздействиями, естественно интерпретировать как случайную ошибку эксперимента. Для оценки контролируемой изменчивости единственно возможным началом отсчета является общий средний результат

(2.1.2)

Таким образом, полную изменчивость индивидуальных значений можно представить в виде суммы двух компонент: эффекта фактора и случайной ошибки:

. (2.1.3)

Дата добавления: 2014-12-26