Дробные многофакторные планы

Планы со смешиванием эффектов и

1. В п. 2.2 было определено понятие межфакторного взаимо-действия, заключающегося в том, что изменчивость отклика при варьировании одного фактора зависит от уровня другого фактора (или других факторов). При явно значимом двухфакторном взаимо-действии наблюдается инверсия эффекта одного фактора при смене уровней второго фактора. При этом аппарат многофакторного дис-персионного анализа (п. 2.2) позволяет оценивать значимость как главных эффектов, так и взаимодействий любого порядка, посредством единообразной вычислительной процедуры. Однако в ряде случаев возникают ситуации, когда взаимодействие, даже если оно является явно значимым, не может быть сколько-нибудь вразумительным образом интерпретировано. Одним из наиболее характерных примеров являются так называемые эксперименты с группировкой, или иерархические. Такая ситуация возникает, когда уровни одного фактора локализованы (сгруппированы) внутри уровней другого фактора (или внутри пересечения уровней нескольких факторов). В этом случае уровни вложенного фактора, очевидно, не пересекаются с уровнями внешних и, стало быть, ни о каком взаимодействии говорить не имеет смысла. В двухфакторном эксперименте с группировкой следует модифицировать схему дисперсионного анализа таким образом, чтобы эффект взаимодействия смешивался с главным эффектом вложенного фактора. Полученную смесь, т.е. сумму эффектов, вполне естественно можно интерпретировать как уточненный эффект вложенного фактора.

В качестве примера рассмотрим эксперимент, целью которого является оценка однородности продукции нескольких многопозиционных станков. Пусть 5 станков, на которых изготавливаются стеклянные держатели катода электронных ламп имеют по 4 позиции (головки), на которых формуются держатели. В результате образуется план-матрица двухфакторного эксперимента типа 5х4. Приняв численность каждой из 20 элементарных ячеек эксперимента n=4 индивидуальных значений деформации держателя, получим N=80 индивидуальных значений. Результаты полностью рандомизованного эксперимента приведены в табл. 2.3.1.

Таблица 2.3.1. Исходные данные эксперимента

G\S

Окончание табл. 2.3.1

Структура эффектов такого эксперимента будет иметь вид

. (2.3.1)

Слагаемые в правой части (2.3.1) интерпретируются как эффект станка, эффект головки внутри станка и случайная ошибка эксперимента соответственно.

Возводя обе части (2.3.1) в квадрат и суммируя по всем j, i, n, получим сумму квадратов, структурированную по источникам изменчивости:

, (2.3.2)

где

; ;

. (2.3.3)

Легко заметить, что смешивание эффектов в данном случае сводится к суммированию соответствующих величин двухфакторного эксперимента с пересекающимися уровнями:

, , (2.3.4)

где – число степеней свободы парциальной суммы квадратов. Результаты вычислений по (2.3.3) сведены в таблицу дисперсионного анализа (табл. 2.3.2).

Таблица 2.3.2. Результаты дисперсионного анализа

Источник изменчивости	Число степеней свободы, r	Сумма квадратов, Q	Средний квадрат, S^2	Дисперсионное отношение, F
S		45,08	11,27	0,58

Окончание табл. 2.3.2

G(S)		282,87	18,86	1,76
ε		642,00	10,70	-
∑		969,95	-	-

Следует отметить еще одно отличие в рассмотренной схеме дисперсионного анализа по сравнению с «обычным» двухфакторным экспериментом. Значимость эффекта вложенного фактора оценивается по дисперсионному отношению со средним квадратом ошибки (). Если эффект оказывается незначимым, то его следует смешать с ошибкой, объединив строки «ε» и «G(S)» в строку «ε» по вышеизложенному алгоритму. Если же эффект оказывается значимым, то мерой для оценки значимости изменчивости между станками будет изменчивость между головками одного станка ().

По результатам табл. 2.3.2 можно сделать вывод, что следует обратить внимание на различие между головками одного станка. Дисперсионный анализ данных табл. 2.3.1 по схеме с выделенным эффектом взаимодействия привел бы и абсурдному выводу об однородности как головок, так и станков, но при наличии значимого взаимодействия между ними (рекомендуется убедиться в этом, проделав вычисления самостоятельно).

Сходная с рассмотренной ситуация возникает при интерпретации исходных данных контрольной процедуры статистической оценки воспроизводимости и сходимости измерительного процесса, прописанной в разделе MSA ISO. Выборка операторов из состава оперативного персонала проводит серию контрольных измерений партии стандартных образцов. В образующемся двухфакторном эксперименте изменчивость между операторами (воспроизводимость) следует вычислять по схеме смешения главного эффекта оператора и взаимодействия оператор × образец. В противном случае затруднительно интерпретировать результат индивидуального оператора, усредненный по всем образцам и попыткам.

2. В рассмотренных ситуациях необходимость смешивания эффектов и схема смешивания определяются, исходя из интерпретации самих исходных данных. Гораздо более интересными как в теоретическом, так и в практическом аспекте являются ситуации, когда смешивание является неизбежным следствием неполноты (усеченности) исходных данных, т.е. когда исходные данные представляют собой не все, а только часть точек (комбинаций уровней) факторного пространства. Усечение факторного пространства возможно двумя способами:

– разбиением на блоки (блочные многофакторные планы);

– насыщением дополнительными факторами, что фактически является построением одного блока из пространства большей размерностью (дробные многофакторные планы).

Следуя хронологии развития и сложившейся традиции изложения в учебных курсах по планированию эксперимента, блочные и дробные планы излагаются раздельно и именно в такой последовательности. Однако, поскольку имеется ввиду, по существу, один и тот же феномен, представляется целесообразным рассмотреть эти два типа планов совместно и с единых позиций. Попутно следует заметить, что именно на примере этих планов становится очевидным, насколько существенным является сам термин планирование и насколько велика его (планирования) практически значимость.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Предположим, химик желает определить однородность раствора в лабораторном сосуде по глубине и расстоянию от стенки. Для этого он решает взять пробы в 4 точках сосуда в соответствии со схемой рис. 2.3.1.

Рис. 2.3.1. Расположение точек забора проб

Полученный план имеет тип 2², А - расстояние от оси, В - глубина погружения. Однако у лаборанта всего две руки, и без специального приспособления он может брать только две пробы. Для реализации всего эксперимента потребуется два погружения, между которыми пройдет некоторое время, и концентрации в растворе, вообще

говоря, могут измениться. Таким образом, весь эксперимент разделяется на два блока, которые являются «паразитным» источником изменчивости и выступают как неизбежное зло. Вопрос заключается в том, как путем надлежащего планирования минимизировать ущерб. Из пар проб можно составлять 3 различных блока по 2 непересекающиеся пары проб, как показано в табл. 2.3.3.

Таблица 2.3.3. Варианты блоков

№погр.\№вар.	I	II	III
	1, b	1, a	1, ab
	a, ab	b, ab	a, b

Легко видеть, что в I варианте главный эффект А и А × В взаимодействие смешиваются с эффектом блока. В варианте II с эффектом блока смешиваются В и А × В. И только в III варианте оба главных эффекта отделяются от эффекта блока. Смешанным остается только А х В взаимодействие.

3. Что бы оценить, в чем заключается сходство и различие между блочными и дробными планами, используем ту же самую модель эксперимента. Дополним эксперимент третьим фактором - временем С, который будет варьировать также на двух уровнях: t ₁~1, t ₂~ c. В результате образуется эксперимент типа 2³. Для удобства вычислительной процедуры проведем кодирование уровней факторов, положив нижний -1, верхний +1, и впишем все 8 комбинаций условий эксперимента в табл. 2.3.4.

Таблица 2.3.4. Комбинации условий испытаний

А	В	С	АВ	АС	ВС	АВС
-1	-1	-1				-1
+1	-1	-1	-1	-1		+1
-1	+1	-1	-1		-1	+1
+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1
-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Желая уложиться в 4 опыта, исследователь должен смириться с неизбежной потерей части информации. Априорно наименее цен-ным является старшее взаимодействие А х В х С. Группируя опыты (строки табл. 2.3.4) так, чтобы значение в столбце АВС имели одинаковый знак, получим 2 блока (2 полуреплики) эксперимента 2³. При этом тройное взаимодействие станет «невидимым», кроме того, произойдет смешивание главных эффектов с парными взаимодействиями: А ~ ± ВС, В ~ ± АС, С ~ ± АВ. Таким образом, дробный многофакторный план представляет собой один из блоков полного плана. Знак в схеме смешивания определяется выбором блока, который, в свою очередь, выбирается случайно (блоки рандомизуются). Если блок рассматривать как источник изменчивости, равноправный с факторами (число уровней этого дополнительного фактора очевидно равно количеству блоков), то принципиальное различие между блочными и дробными планами и вовсе исчезает. Алгоритм разбиения на блоки, так называемый метод определяющих контрастов, строится с помощью элементов теории групп. Кемпторн предложил рассматривать линейную форму:

, (2.3.5)

где λ_i – показатель степени i -го фактора в определяющем контрасте, X_i - уровень i -го фактора в данной комбинации условий. Сам определяющий контраст записывается как взаимодействие (или главный эффект), смешиваемое с эффектом блока. В рассмотренном примере контраст – парное взаимодействие А х В имеет линейную форму L = X ₁+ X ₂. Все комбинации условий (уровней факторов) разбиваются на классы эквивалентности, как группа L mod m, где m – число уровней факторов (должно быть одинаковым). Блоки формируются из комбинаций, принадлежащих одному классу эквивалентности. При этом блок, содержащий комбинацию (1) (все факторы на нижних уровнях), называется основным. Для рассмотренного примера будем иметь:

(1): L = 1∙0 + 1∙0 = 0 ≡ 0 mod 2, a: L = 1∙1 + 1∙0 = 1 ≡ 1 mod 2,

b: L = 1∙0 + 1∙1 = 1 ≡ 1 mod 2, ab: L = 1∙1 + 1∙1 = 2 ≡ 0 mod 2.

В результате получаем III вариант разбиения на блоки в соответствии с табл. 2.3.3.

В экспериментах типа 2ⁿ при n >2 количество возможных вариантов разбиения будет существенно большим. Для эксперимента 2³ при возможности реализации лишь четырех комбинаций условий и смешивании с эффектом блока старшего взаимодействия А × В × С, будем иметь: L = X ₁ + X ₂ + X ₃,

(1): L ≡0 mod 2, a: L ≡1 mod 2, b: L ≡1 mod 2, c: L ≡1 mod 2,

ab: L =2≡0 mod 2, ac: L =2≡0 mod 2, bc: L =2≡0 mod 2, abc: L=3≡1 mod 2.

Группируя комбинации с равными значениями L mod 2, получаем 2 блока:

Блок I (L=0) Блок II (L=1)

  (1) ab ac bc

  a b c abc

В таком блочном плане с эффектом блока смешивается старшее взаимодействие А х В х С. Все главные эффекты и парные взаимодействия остаются выделенными. В общем случае, при разбиении эксперимента типа 2ⁿ на m блоков (m должно быть кратно 2) с эффек-том блока смешиваются m -1 эффектов или взаимодействий. Какие именно эффекты будут смешаны с эффектом блока и составляет, собственно, предмет планирования эксперимента. В качестве примера рассмотрим эксперимент 2⁴ в ситуации, когда в один блок мо- гут входить только 4 комбинации условий, что соответствует 4- блочному плану эксперимента 2⁴. В качестве двух альтернатив рассмотрим две схемы смешения: а) А х В, С х D, А х В х С х D; б) А х В х С, В х С х D, А х D. Легко заметить, что каждая тройка эффектов представляет собой группу относительно умножения mod 2 (при перемножении любых двух эффектов из тройки получится третий). Для каждой из альтернатив получаем два определяющих контраста:

а) L ₁ = X ₁ + X ₂, L ₂ = X ₃ + X ₄;

б) L ₁ = X ₁ + X ₂ + X ₃, L ₂ = X ₂ + X ₃ + X ₄ (или X ₁ + X ₄). (2.3.6)

Блоки формируются по принципу соответствия L₁ (mod 2) и L₂ (mod 2). Значения контрастов в 16 точках полного плана приведены в табл. 2.3.5 а, б.

Таблица 2.3.5а

а

b

c

d

ab

ac

ad

bc

bd

cd

abc

abd

acd

bcd

abcd

L1

L2

Таблица 2.3.5 б

а

b

c

d

ab

ac

ad

bc

bd

cd

abc

abd

acd

bcd

abcd

L1

L2

Группируя комбинации условий по классам эквивалентности пары (L₁, L₂), получаем два варианта разбиения на блоки, как показано в табл. 2.3.6 а, б.

Таблица 2.3.6 а

	Блок 1		Блок 2		Блок 3		Блок 4
	L1 = 0, L2 = 0		L1 = 1, L2 = 0		L1 = 0, L2 = 1		L1 = 1, L2 = 1
	(1)		a		c		ac
	ab		b		d		ad
	cd		acd		abc		bc
	abcd		bcd		abd		bd

Таблица 2.3.6 б

	Блок 1		Блок 2		Блок 3		Блок 4
	L1 = 0, L2 = 0		L1 = 1, L2 = 0		L1 = 0, L2 = 1		L1 = 1, L2 = 1
	(1)		a		d		b
	bс		bd		ab		c
	abd		cd		ac		ad
	acd		abc		bcd		abcd

4. Планы типа w ⁿ, где w >2 простое число, разбиваются на кратное w число блоков. Блоки формируются в соответствии со структурой группы (mod w). Например, если эксперимент типа 3², содержащий 9 комбинаций условий, разбивается на 3 блока и с эффектом блока смешивается взаимодействие А х В ², то определяющий контраст имеет вид

L = X ₁ + 2 X ₂. (2.3.7)

Значения контраста в 9 вершинах факторного пространства приведены в табл. 2.3.7.

Таблица 2.3.7

		а	a^2	b	b^2	ab	a^2b	ab^2	a^2b^2
L

По классам эквивалентности L (mod 3) получаем 3 блока эксперимента 3², как показано в табл. 2.3.8.

Таблица 2.3.8

	Блок 1		Блок 2		Блок 3
	L = 0		L = 1		L = 2
			a		a^2
	ab		b^2		b
	a^2b^2		a^2b		ab^2

В таком блочном плане остаются выделенными оба главных эффекта и парное взаимодействие. Причем, взаимодействие, как и главные эффекты, имеет число степеней свободы

(в полностью рандомизованном эксперименте 3² А х В – взаимодействие имеет (w -1)² степеней свободы). Недостающие (w -1)(w -2) степеней свободы переходят в эффект блока, и в результате 8 степеней свободы эксперимента 3² разделяются, как показано в табл. 2.3.9.

Таблица 2.3.9

Источник изменчивости	Число степеней свободы
A
B
AxB
AxB^2+блок

5. Как уже было отмечено, дробный план, назначением которого является минимизация трудоемкости (ценой частичной потери информации), представляет собой один из блоков полного многофакторного плана. Соответственно, все вышесказанное о смешивании эффектов и об алгоритме расщепления полного плана на блоке остается справедливым и для дробных планов. Единственным отличием, имеющим скорее терминологический характер, является то, что в роли эффекта блока выступает один из эффектов или взаимодействий.

Некоторые авторы трактуют построение дробных планов как насыщение плана меньшей размерности дополнительными факторами. Пример насыщения эксперимента 2² третьим фактором (до полуреплики 2³) был рассмотрен в плане параграфа. Следует заметить, что данный пример носит чисто иллюстративный характер, поскольку дробные реплики эксперимента типа w ³ по большому счету не имеют практического значения (снижение трудоемкости незначительно, а потеря информации непомерно высока). Польза от дробных планов становится очевидной лишь при большом числе факторов (n ≥4).

В качестве примера рассмотрим план типа 2⁷, содержащий 128 комбинаций условий. Переходя к полуреплике из 64 комбинаций ценой потери старшего взаимодействия, получим определяющий контраст в виде

L = ABCDEFG. (2.3.8)

Схему смешивания определяем поочередно, умножая (2.3.8) на символы главных эффектов и взаимодействий младших порядков, учитывая, что четные степени исчезают 0 (mod 2):

A ∙ L = BCDEFG; AB ∙ L = CDEFG и т.д.

Таким образом, в полуреплике 2⁷ наряду с исчезновением (смешиванием с эффектом блока) старшего взаимодействия, взаимодействия 6-го порядка смешиваются с главными эффектами (не участвующими во взаимодействии), взаимодействия 5-го порядка смешиваются с непересекающимися парными и, наконец, взаимодействия 4-го порядка смешиваются с непересекающимися тройными. При однократной реализации полуреплики 2⁷ с выбранной схемой смешения взаимодействия 3-го и 4-го порядков можно использовать в качестве оценки ошибки, тогда, пренебрегая взаимодействиями более старшего порядка, можно оценивать все главные эффекты и парные взаимодействия.

При построении ¼ реплики эксперимента 2⁷ оказывается предпочтительнее исключить 2 взаимодействия 5-го порядка (а стало быть, и их произведение). В результате все главные эффекты сме-шиваются с взаимодействиями 3-го и более высокого порядков, но при этом из 21 парных взаимодействий 6 оказываются смешанными

между собой. Исключив взаимодействия A x B x C x D x E и C x D x E x F x G, получим определяющий контраст следующего вида:

L = ABCDE = CDEFG = ABFG. (2.3.9)

Схема смешения, соответствующая контрасту (2.3.9), приведена в табл. 2.3.10.

Таблица 2.3.10. Схема смешения ¼ реплики эксперимента 2⁷

Эффект	Совместные эффекты	Эффект	Совместные эффекты
A	BCDE~ACDEFG~BFG	CD	CD~ABE~EFG~ABCDFG
B	ACDE~BCDEFG~AFG	CE	CE~ABD~DFG~ABCEFG
C	ABDE~DEFG~ABCFG	CF	CF~ABDEF~DEG~ABCG
D	ABCE~CEFG~ABDFG	CG	CG~ABDEG~DEF~ABCF
E	ABCD~CDFG~ABEFG	DE	DE~ABC~CFG~ABDEFG
F	ABCDEF~CDEG~ABG	DF	DF~ABCEF~CEG~ABDG
G	ABCDEG~CDEF~ABF	DG	DG~ABCEG~CEF~ABDF
AB	CDE~ABCDEFG~FG	EF	EF~ABCDF~CDG~ABEG
AC	BDE~ADEFG~BCFG	EG	EG~ABCDG~CDF~ABEF
AD	BCE~ACEFG~BDFG	ACF	ACF~BDEF~ADEG~BCG
AE	BCD~ACDFG~BEFG	ACG	ACG~BDEG~ADEF~BCF
AF	BCDEF~ACDEG~BG	ADF	ADF~BCEF~ACEG~BDG
AG	BCDEG~ACDEF~BF	ADG	ADG~BCEG~ACEF~BDF
BC	ADE~BDEFG~ACFG	AEG	AEG~BCDG~ACDF~BEF
BD	ACE~BCEFG~ADFG	BEG	ACDG~BCDF~AEF
BE	ACD~BCDFG~AEFG	—

В некоторых случаях насыщение планов дополнительными факторами и переход к дробным репликам оказывается предпочтительнее полных планов с меньшим числом факторов.

Дата добавления: 2014-12-26