Комплексные числа

Комплексным числом называется число вида , где и - действительные числа. Число называется действительной частью комплексного числа (), - мнимой частью комплексного числа (), - мнимая единица, обладающая свойством .

Комплексные числа и являются взаимно сопряженными.

Рис.1

Комплексное число может быть изображено на плоскости как точка с координатами . Ось Ox является действительной осью, ось Oy - мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (рис.1). Каждой точке комплексной плоскости соответствует радиус-вектор этой точки; его длина называется модулем комплексного числа , обозначается и вычисляется по формуле .

Угол между радиус-вектором и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа и обозначается . Главным значением аргумента является значение из интервала , которое обозначается (). Таким образом, , .

Угол для любого определяется по формулам:

Формы записи комплексных чисел:

1. - алгебраическая форма;

2. - тригонометрическая форма;

3. - показательная форма.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа связаны формулой Эйлера: .

Действия над комплексными числами:

1. Числа заданы в алгебраической форме ( и ):

· Сумма ;

· Произведение ;

· Частное , где .

2. Числа заданы в тригонометрической форме ( и ):

· Сумма (как в алгебраической форме);

· Произведение ;

· Частное .

3. Числа заданы в показательной форме (, ):

· Сумма (как в алгебраической форме);

· Произведение ;

· Частное .

Возведение комплексных чисел в целую положительную степень определяется формулами:

· если , то ;

· если , то .

\Корень -ой степени из имеет различных значений, которые находятся по формулам:

· если , то

, где =0,1,… ;

· если , то , где =0,1,… .

Таблица основных эквивалентностей

1. при	7. при
2. при	8. при
3. при	9. при
4. при	10. , , при
5. при	11. , , при
6. при	12. при

Дата добавления: 2014-12-26