Основы реологии 2 страница

При течении жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами длиной , из которых наружный вращается с угловой скоростью w, реологические параметры для бингамовской жидкости могут быть определены из соотношения:

,

а для жидкости, соответствующей степенной модели:

,

где М - вращающий момент, приложенный к наружному цилиндру; a = R₀/R; R₀ и R - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно.

Для произвольного течения несжимаемых (x = 0) вязкопластичных жидкостей используются следующие уравнения состояния, обобщающие уравнения (8.1.2) и модели (8.1.3), (8.1.4):

l_ij = 0 при T £ t₀,

s_ij = 2 (h + t₀ /H₁)l_ij при T > t₀, (8.1.5)

, (8.1.6)

где Н₁ - интенсивность скоростей деформаций сдвига при x = 0:

,

Т - интенсивность касательных напряжений,

.

При определённых нестационарных режимах течения буровые и тампонажные растворы могут проявлять особые свойства неньютоновского поведения:

Ø тиксотропность -зависимость жёсткости структуры от продолжительности деформирования и предыстории движения;

Ø запаздывание во времени установления деформации при действии постоянного напряжения или, наоборот, запаздывание во времени установления напряжений при постоянной деформации(релаксация напряжений).

5. Эмпирически установлено, что по мере увеличения скорости течения всякое упорядоченное движение частиц жидкости постепенно нарушается и переходит в новую форму - турбулентное движение, при котором движение частиц становится неупорядоченным (хаотичным).Несмотря на то, что первые наблюдения турбулентного течения были сделаны более 100 лет тому назад, до настоящего времени нет строгой теории, каким образом ламинарное движение перерождается в турбулентное. В 1883 годуО. Рейнольдс впервые обнаружил, что переход ламинарного движения в турбулентное наступает при достижении некоторого критического значения параметра, который известен нам как параметр Рейнольдса:

, (8.1.7)

где - средняя скорость потока; d - диаметр трубы; r, m - плотность и вязкость жидкости.

Для ньютоновских жидкостей наиболее вероятная нижняя граница = 2320, а верхняя» 50000. При этом, чем плавнее вход в трубу, тем позже наступает турбулентный режим. Помимо этого на величину верхней границы Re_кр сильное влияние оказывают следующие факторы:

Ø сильное отклонение трубы от цилиндрической формы;

Ø заметная шероховатость поверхности трубы;

Ø наличие в жидкости твёрдых тел, коллоидных или дисперсных образований;

Ø изменение граничных условий;

Ø действие внешних возмущений и т.д.

Для вязкопластичных сред переход от структурного к турбулентному режиму течения принято определять по величине обобщённого параметра Рейнольдса:

Ø для степенной модели , (8.1.8)

Ø для модели Бингама . (8.1.9)

Нижняя граница обобщённых параметров Re¢ b Re_* равна 2100. Отличительным признаком турбулентных течений является зависимость скорости от времени в любой точке потока.

Для количественного описания турбулентных течений Рейнольдс предложил действительные скорости (давления) в данной точке представлять в виде суммы средних во времени величин и пульсационных составляющих. Для развитого турбулентного течения пульсационные составляющие пренебрежимо малы со средними значениями величин, поэтому сохраняется интегральная теорема движения, эквивалентная трём дифференциальным уравнениям + уравнение неразрывности.

В этом случае вместо обычных значений величин используются их средние значения, а вместо напряжений s_ij используется сумма компонент напряжений, связанных со средними скоростями + напряжения Рейнольдса:

. (8.1.10)

Иначе говоря, для решения задач турбулентного течения возможно применение уравнений механики сплошной среды, при условии, что величины v_i, p, s_ij, входящие в эти уравнения, будут соответственно заменены на величины

8.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ СРЕД

Представим себе, что жидкость разделена на бесконечно тонкие горизонтальные плоские слои (рис.8.1), которые при перемещении верхней пластины скользят один по другому так же, как карты в сдвигаемой колоде. Если скорость v₀ бесконечно мала, то эта деформация не требует сколько-нибудь заметного усилия, хотя величина смещения U может расти безгранично.

Только тогда, когда скорость v₀ будет конечна, возникает сила сопротивления, вызванная трением слоев жидкости относительно друг друга. Отсюда ясно, что мерой сдвиговых деформаций жидкости является не величина , а аналогичное ей отношение , называемое

Рис.8.1. Течение вязкой жидкости

скоростью сдвига (Н - расстояние между пластинами).

Поскольку , то скорость сдвига часто обозначается символом (напомним, что в механике точка соответствует дифференцированию по времени). Силы, необходимые для сдвига жидкости, по-прежнему определяются касательным напряжением , где F- сила сопротивления, возникающая на площади S из-за затрудненного проскальзывания соседних слоев жидкости. Предполагая, что касательное напряжение пропорционально скорости сдвига (Ньютон, 1687 г.), получим , где величина m называется вязкостью жидкости.

Материалы, описываемые этим уравнением, называются ньютоновскими жидкостями. Реальные значения вязкости изменяются в очень широких пределах. Так, при 20°С вода имеет вязкость 1×10^-3 Па×с, а глицерин - 1,5 Па×с.

На рис.8.2 приведены реологические кривые -зависимости касательного напряжения от меры сдвига - для трех рассмотренных выше материалов. Такие диаграммы могли бы быть получены в ходе экспериментов с идеальными телами при постепенном увеличении напряжения (нагрузке) и обратном его уменьшении (разгрузке). Стрелки на приведенных диаграммах указывают направление, в котором изменяется напряжение.

Реологическая диаграмма пластического тела имеет 1 упругий участок вплоть до предела текучести. При снятии напряжений, эта часть полной деформации обратима, а те деформации, что были накоплены в процессе течения, являются необратимыми (рис. 8.2, б).

Рис. 8.1. Реологические кривые

Хорошо всем знакомым примером такого тела является зубная паста. Если слегка сдавить тюбик с зубной пастой, то плоская поверхность пасты в выходном отверстии становится выпуклой, но при снятии давления эта выпуклость исчезает. Если же тюбик сжимается с большей силой, то происходит необратимое выдавливание цилиндрика пасты. Присмотревшись, можно заметить, что на конце этого цилиндрика образуется сферический сегмент, пропадающий после снятия нагрузки за счет исчезновения обратимых нагрузок.

8.2.1. ТЕЧЕНИЕ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ

Рассмотрим ламинарное течение вязкой (ньютоновской) жидкости в круглой трубе радиуса R. При таком течении цилиндрические слои жидкости (которые должны мыслиться бесконечно тонкими) перемещаются в направлении оси трубы z, совершая "телескопическое" движение (рис. 8.2, а). Так как жидкость несжимаема, то скорость v остается постоянной по длине трубы и зависит только от расстояния r до центральной оси. Для определения зависимости составим уравнение равновесия сил, действующих на цилиндрический объем жидкости длиной l и радиусом r (рис. 8.3, б).

Сила вязкого сопротивления, действующая на внешнюю поверхность цилиндра со стороны внешних слоев, равна . Эта сила уравновешивается раз­ницей сил давления, действующих на основания цилиндра, поэтому

, откуда (8.2.1)

Рис. 8.2. Ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе

(знак "минус" означает, что сила сопротивления направлена против оси z). По закону Ньютона

, откуда

.

Интегрируя это уравнение, получаем с учетом граничного усло­вия v (R) = 0 зависимость

. (8.2.2)

Измеряемой в опытах величиной является расход Q -объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени, поэтому вычислим эту величину. Для этого разобьем сечение трубы на узкие кольца шириной dr. Расход жидкости через кольцо с внутренним диаметром г равен

Расход через всё сечение может быть получен простым интегрированием:

(8.2.3)

Таким образом, в случае ньютоновской жидкости наблюдается линейная связь между перепадом давления и расходом жидкости.

Определив среднюю по сечению скорость V_ср -как получим отсюда

Распределение (8.2.2) было получено Стоксом (Stokes, 1849 г.) и Гагенбахом (Hagenbach, 1860 г.). Последний назвал соотношение законом Пуазейля в честь французского ученого (Poiseuille, 1797-1869), который в экспериментах с водой установил эмпирическую зависимость между расходом, геометрическими размерами тела и давлением.

8.2.2. НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ

Гипотеза Ньютона о линейной связи между тангенциальным напряжением и скоростью сдвига оказалась очень удобным приближением, справедливым для абсолютного большинства низкомолекулярных жидкостей, но при рассмотрении реологических свойств жидкостей, склонных к структурообразованию (суспензий, эмульсий, растворов полимеров, красок, «тяжёлых нефтей», глинистых растворов и т.д.), были обнаружены многочисленные отклонения от закона Ньютона. Такие жидкости называются неньютоновскими, и для них реологическая кривая (или, как часто говорят, кривая течения) не является линейной, т.е. вязкость не остаётся постоянной, а зависит от скорости сдвига или от предыстории деформации материала.

Типичным примером неньютоновских жидкостей являются полимерные системы, в которых длинные гибкие молекулы, зацепляясь друг за друга, образуют некую пространственную структуру («сетку»), резко повышающую вязкость. Под действием сдвиговых деформаций часть структурных связей разрушается, что приводит к уменьшению вязкости.

Отметим тот факт, что Пуазейль был по профессии медиком и интересовался прохождением крови через малые кровеносные сосуды. Сейчас известно, что кровь не является ньютоновской жидкостью, поэтому автор опыта, экспериментально подтвердившего на примере воды предположения Ньютона, в каком-то смысле является первым исследователем неньютоновских сред.

8.2.3.МЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ СРЕД

Горные породы - это тела с бесконечным многообразием реологических свойств, поэтому для описания их поведения могут быть использованы те или иные механические модели. При составлении модели нужно учитывать механические свойства минеральных агрегатов, составляющих породу, её структурные особенности, а также тип и характер цементирующего вещества. Горные породы и вязкоупругие жидкости могут быть представлены в виде некоторых комбинаций двух идеальных тел - вязкого (Ньютона «N») и упругого (Гука «Н»). Качественное описание реологического поведения подобных тел дают механические модели, в которых упругие свойства представлены пружиной, а вязкие - поршнем, движущемся в цилиндре, наполненном маслом (рис.8.4).

Рис. 8.4. Механические модели вязкоупругих сред: а - тело Гука (упругое); б - тело Ньютона (вязкая жидкость); в-тело Максвелла (вязкоупругое); г- тело Фойгхта (вязкоупругое)

1. Простейшая механическая модель вязкоупругой жидкости может быть получена последовательным соединением пружины и поршня (рис.8.3,в). Она представляет собой, так называемую максвелловскую жидкость (J. Maxwell, 1868).

Поскольку при последовательном соединении

t₁ = t₂ = t, g = g₁ + g₂,

где t₁ и t₂ - силы (напряжения), действующие на пружину и поршень, g - деформация всей системы, то с учётом соотношений

t₁ = Gg₁,

получим

или

, (8.2.4)

где .

Если тело Максвелла подвергается при t ³ 0 деформации с постоянной скоростью , то из (8.2.4) с учётом начального условия t (0) = 0 легко получить

.

Отсюда следует, что при напряжение по экспоненциальному закону стремится к равновесному значению . Величина l имеет смысл характерного времени переходного процесса и называется временем релаксации. Таким образом, реологические характеристики вязкоупругих жидкостей зависят от времени.

2. Механическая модель твёрдого тела, обладающего вязкостью (тело Кельвина), может быть получена параллельным соединением пружины и поршня(рис.8.4, г). Для этой схемы g = g₁ = g₂, t₁ + t₂ = t,

поэтому имеем

, или

. (8.2.5)

Реологическая модель типа (8.2.5) рассматривалась также Фойхтом (Voigt,1890), поэтому модель рис. 8.4,г часто называется телом Кельвина-Фойгхта. Простые модели Максвелла и Кельвина - Фойгхта не всегда оказываются достаточными для описания реальных вязкоупругих материалов.

Связано это со структурой реофизически сложных сред, в которых, например, вместо одной релаксации существует целый спектр релаксаций, характеризующих различные нестационарные процессы.

В этой связи часто рассматриваются обобщённые модели, составленные из многих последовательных соединений пружин и поршней (рис. 8.5, 8.6).

Рис. 8.5. Обобщённые механические модели: а - тело Олдройда; б - обобщённое тело Максвелла

Пример. Вывести реологическое уравнение, соответствующее механической модели, изображённой на рис. 8.5,а. В этом случае имеем

t = t₀ = t₁ + t₂,

g = g₀ + g₁,

где

силы (напряжения), действующие на поршни m₀, m₁ и пружину G соответственно.

Отсюда

, или

, (8.2.6)

где - времена релаксации.

Модель (8.2.6) была получена Олдройдом (J.G. Oldroyd, 1953) при теоретическом рассмотрении реологических свойств эмульсий и суспензий.

Применение более сложных моделей приводит к реологическим уравнениям вида

, где .

Для отдельных типов песчанистых глин хорошо подходит модель Кельвина-Фойгхта. Тело Гука моделирует упругие свойства песчинок, а тело Ньютона - вязкие свойства собственно глинистой фракции. Свойства глин Подмосковья хорошо описываются при сжатии моделью Кельвина - Максвелла

.

Так как после непродолжительного времени ползучести этих глин наступает условие кривую на графике e-t можно аппроксимировать прямой, и поведение глины моделировать, используя модель Максвелла.

Рис. 8.6. Обобщённые механические модели: в - обобщённое тело Максвелла; г - обобщённое тело Кельвина - Фойгхта

Выбор модели в большой степени зависит от характера размещения цементирующего вещества в породе, от того, является ли тип цемента контактным или базальным. Для приближённого и частичного описания реологических свойств тех или иных типов пород могут быть использованы среды Бюргерса (Bu), Пойтинга-Томсона (PTh), Шведова (Schw) и их комбинации. Однако полностью поведение горных пород не моделирует ни одна подобная модель.

Анализируя кривые деформирования и ползучести горных пород, можно сделать заключение о ряде следующих свойств, которые должны быть присущи модели:

· при мгновенном приложении нагрузки происходит соответственная мгновенная деформация;

· при постоянном напряжении деформация увеличивается со временем. Величина деформации асимптотически стремится к определённому пределу, который зависит от интенсивности действующих напряжений;

· предел, к которому стремится деформация, нелинейно зависит от действующих напряжений;

· до определённой величины напряжений (предела упругости) происходит упругое деформирование тела. После превышения величины критических напряжений начинается пластически вязкое деформирование;

· рост вязкопластических деформаций сопровождается одновременным ростом упругих деформаций.

Дата добавления: 2014-12-26