Пуассона

Рис.4.4. Растягивание резинового шнура с постоянной силой

При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям - растяжению (сжатию) и сдвигу. Обратимся к опыту. Закрепим один конец резинового шнура длиной и потянем за другой конец с постоянной силой. Шнур придет в новое положение равновесия с длиной (рис. 4.4). Такую простейшую деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением

(4.3.1)

При этом растяжение соответствует , а сжатию - .

Деформацию сдвига можно наблюдать в опыте с резиновым кубиком, если закрепить, например, его нижнее основание, а к верхнему основанию приложить касательную силу. (рис.4.5). Деформация в этом случае будет характеризоваться параметром

, (4.3.2)

зависящим от угла сдвига a, который в большинстве практически важных случаев мал, и g» a.

Рис.4.5. Деформация резинового кубика

Отметим также известный факт, что при растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d₁. Такое поперечное сжатие характеризуется параметром

. (4.3.3)

Опытным путем установлено, что отношение к приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. В теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона:

. (4.3.4)

Каково численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, посчитаем изменение объема резинового шнура.

В отсутствие деформации его объем , объем же деформированного шнура

. (4.3.5)

В последнем выражении мы пренебрегли малыми величинами второго порядка . С учетом (4.3.4) относительное изменение объема запишется в виде

(4.3.6)

Рис.4.6. Деформация кубика в точке Р

Поскольку при растяжении (e > 0) объем никогда не уменьшается, то . Для изотропных материалов, имеющих одинаковые механические свойства по всем направлениям, коэффициент Пуассона , в частности, для металлов m = 3/10.

Понятие о тензоре деформации. В рассмотренных выше случаях мы имели дело с одномерными однородными деформациями растяжения и сдвига (вдоль одного направления), где e и g оказывались одними и теми же для всех элементарных объемов резинового шнура. Во многих случаях ситуация гораздо сложнее: с одной стороны, деформации меняются от точки к точке (неоднородные деформации), а с другой стороны, не являются одномерными. Последнее означает, что деформации в некоторой точке P описываются тремя деформациями растяжения e₁₁,e₂₂,e₃₃ маленького кубика с т. P внутри (рис. 4.6) и двумя сдвигами каждой из трех граней кубика: g₁₂,g₁₃;g₂₁,g₂₃;g₃₁,g₃₂. Здесь первый индекс i означает, что грань кубика перпендикулярна оси X_i, второй индекс j означает, что грань смещается вдоль оси X_j. Таким образом, неоднородные деформации в каждой точке тела в общем случае характеризуются набором 9 величин деформаций, являющихся функциями координат. Эти девять величин составляют тензор деформаций, но независимы лишь 6 его величин. Рассмотрим несколько подробнее подход, используемый для описания деформации в некоторой точке P, приводящий к введению понятия тензор деформаций. Пусть тело находится к недеформированном состоянии, и известно положение каждой из его частиц, задаваемых радиус-вектором r относительно некоторой системы координат как, например, положение т. P на рис 4.7. При деформировании все его точки, вообще говоря, смещаются. Смещение каждой точки можно охарактеризовать вектором смещения u(x₁, x₂, x₃), являющегося при неоднородных деформациях функцией координат. Деформации в точке будут определены лишь тогда, когда будет известно смещение соседних с т. P частиц тела. Таким образом, задание смещения всех частиц тела полностью определяет его деформацию.

Рис.4.7. К понятию тензора деформации

В самом деле, рассмотрим две бесконечно близкие точки P(x₁,x₂,x₃) и P'(x₁+dx₁,x₂+dx₂,x₃+dx₃), имеющие смещения u (x₁,x₂,x₃) и u' = u (x₁+dx₁,x₂+dx₂,x₃+dx₃). Из рисунка нетрудно видеть, что если взаимное расположение точек в недеформированном состоянии задавалось радиус-вектором проекции, то в результате деформаций новое взаимное расположение задается вектором

(4.3.7)

В частности, если u' = u, то деформации в т. P отсутствуют.

Для удобства описания деформаций возведем (4.3.7) в квадрат и будем оперировать модулями векторов .Тогда

. (4.3.8)

В равенстве (4.3.8) пренебрежем последним членом в правой части, поскольку снижаем деформации малыми (du << dℓ), а проекции вектора d u представим в виде сумм

(4.3.9)

Выражение (4.3.9) описывает приращение каждой из трех проекций вектора смещения при переходе из т. P в т. P' и содержит три слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции u_i в т. P на приращение соответствующего аргумента dx_j.

Расписывая в (4.3.8) скалярное произведение в виде

и подставляя (4.3.9) в (4.3.8), получим

(4.3.10)

где, по определению

- тензор деформаций. (4.3.11)

Из его определения видно, что он является симметричным тензором (U_ij= U_ji). Для описания деформаций в каждой т. Р можно выбрать такую систему координат, в которой только три диагональные компоненты тензора U₁₁,U₂₂ и U₃₃ отличны от нуля. Как и в случае приведения тензора инерции к главным осям, уместно напомнить, что для каждой точки тела Р существуют свои три главные оси, относительно которых формула (4.3.10) имеет наиболее простой вид:

(4.3.12)

В качестве примера рассмотрим деформацию сдвига в резиновом кубе, изображенном на рис. 4.5. Для удобства нанесем на его боковую грань прямоугольную сетку, разбивающую эту грань на маленькие квадратики со сторонами, параллельными ее диагоналям (рис.4.8,а). При деформации квадратики превращаются в прямоугольники (рис.4.8,б). Если под и понимать длины диагоналей элементарных квадратика и прямоугольника соответственно, то эти длины можно связать формулой (4.3.12) только в системе координат, оси которой X₁ и Х₂ направлены вдоль ребер элементарных ячеек (ось Х₃ перпендикулярна плоскости чертежа).

Рис.4.8. Деформации в резиновом кубе

Обобщая полученный результат, следует сказать, что при произвольных деформациях главные оси в любой точке Р должны быть направлены параллельно ребрам элементарного прямоугольного

параллелепипеда, который при деформации остается прямоугольным параллелепипедом. Деформации сдвига относительно главных осей координат отсутствуют. Ниже мы установим связь между деформациями сдвига и недиагональными компонентами тензора деформаций. Выясним далее физический смысл диагональных компонент U₁₁, U₂₂ и U₃₃. Относительное удлинение каждой из граней призмы равно соответствующей диагональной компоненте тензора деформаций. В самом деле

. (4.3.13)

Пусть в окрестности т. P(x₁,x₂,x₃) деформации таковы, что кубик со сторонами dx₁, dx₂ и dx₃ превращается в параллелепипед. Для наглядности рассмотрим картину деформации в плоскости X₁ X₂. Смещения вершин квадрата при деформации изображены соответствующими векторами. Длины прямоугольника в направлении главных осей X₁ и X₂ изменились до величин

(4.3.14)

Из (4.3.14) легко вычисляются относительные удлинения:

(4.3.15)

С использованием соотношения (4.3.13) легко также связать изменение элементарного объема с диагональными компонентами тензора. Объем элементарного параллелепипеда

(4.3.16)

и также изменяется при деформациях. Относительное изменение этого объема при малых деформациях , как следует из (1.5.16), равно

(4.3.17)

Важно отметить, что при сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций (иногда употребляют термин "след тензора"), приведенного к главным осям, равна нулю (см. ниже).

Рис.4.9. «След тензора»

Дата добавления: 2014-12-26