Напряжения и деформации в твёрдых средах

4.1. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕКУЧЕЕ ТЕЛО

Движение сплошной среды вызывают силы. Они могут быть внешними и внутренними.

Внешние силы возникают в результате взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами. Такие силы вызывают или могут вызвать изменение количества движения и кинетической энергии выделенного объёма. Типичным примером внешней силы для объектов, находящихся вблизи поверхности Земли, является сила тяжести.

Внутренние силы возникают в результате взаимодействия элементов данного тела. Они не могут изменить количество движения этого объёма, так внутри него каждая внутренняя сила уравновешивается равной ей по модулю внутренней силой, имеющей противоположное направление. Вместе с тем работа внутренних сил может изменить кинетическую и (или) потенциальную энергию рассматриваемого объёма тела. Примерами внутренних сил являются сила давления, действующая на поверхность, построенную внутри выделенного объёма жидкости; сила трения между слоями движущейся жидкости.

Внешние и внутренние силы могут быть объёмными (массовыми) и поверхностными.

Величина объёмных (массовых) сил пропорциональна объёму (массе) жидкости или газа, на который они действуют. Характеристикой объёмной (массовой) силы является плотность распределения этой силы в пространстве. Это векторная величина , которая равна силе, действующей на единицу объёма (массы). Примером объёмной силы является сила тяжести. Плотность её распределения представляют в виде силы, приходящейся на единицу массы сплошной среды. Если принять оси х и у горизонтальными, а z направить вертикально вверх, то плотность распределения силы тяжести , где g = 9,81 м/с² - ускорение свободного падения. При этом вес F_g объёма V равен

. (4.1.1)

Таким образом, вес тела направлен вниз, о чём свидетельствует знак минус, и равен rgV. Величина поверхностных сил пропорциональна площади поверхности, на которую они действуют. Примером такой силы является сила взаимодействия между двумя соприкасающимися слоями жидкости, которые движутся друг относительно друга.

Характеристикой поверхностной силы на заданной поверхности является плотность её распределения, которую при использовании модели сплошной среды называют напряжением. Напряжение - величина векторная.

Напряжение в данной точке фиксированной поверхности обычно проектируют на нормаль к ней и на касательную плоскость, при этом различают нормальные и касательные напряжения.

Физически поверхностные силы обусловлены силами ближнего взаимодействия молекул, расположенных по разные стороны от рассматриваемой поверхности, и переносом молекул сквозь эту поверхность в процессе их теплового движения.

4.2. НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

  Рис. 4.1. Напряжение в точке сплошной среды

Разделим произвольную часть сплошной среды поверхностью АВ на две части (Рис.4.1), при этом часть 1 будет действовать на часть 2 с силой . Обозначив площадь поверхности АВ через А_АВ, среднее напряжение на АВ выразим вектором, имеющим то же направление, что и :

. (4.2.1)

Обозначим произвольную малую часть поверхности АВ, содержащую точку М, через DА_АВ; на неё будет действовать сила D . Стягивая D А_АВ в точку М, получаем вектор напряжения в этой точке:

. (4.2.2)

Проведя через точку М другую поверхность, например ДЕ,можно с помощью таких же рассуждений получить другой вектор напряжения р_ДЕ (М).

Рис. 4.2. Обозначения напряжений в сплошной среде и их проекций на оси координат

Таким образом, вектор напряжения (плотности распределения поверхностной силы) на поверхности, проходящей через данную точку, зависит от ориентации этой поверхности.

Выделим в пространстве элементарный куб, грани которого параллельны координатным плоскостям (рис.4.2), и обозначим векторы напряжений на этих гранях , где индекс соответствует координатной оси, к которой грань куба перпендикулярна.

Рис. 4.3.Определение напряжения на произвольно-ориентированной площадке

Для обозначения проекции вектора напряжений на какую-либо координатную ось введём второй подстрочный индекс, соответствующий этой оси. Например, р_ух - это проекция вектора напряжения р _у на ось х. Как видно из рисунка, р_хх, р_уу, р_zz - нормальные напряжения; р_ху, р_хz, р_ух, р_zх, р_zу - касательные.

Выделим в сплошной среде элементарную (с точки зрения напряжений) пирамиду с вершиной в точке М (рис.4.3.), три грани которой перпендикулярны осям координат х, у, z, а ориентация четвёртой грани АВС определяется единичным вектором нормали n, имеющим проекции на координатные оси:

(4.2.3)

Обозначим площади граней пирамиды, ортогональных осям х,у, z, соответственно А_х, А_у, А_z, площадь грани АВС обозначим А_n, а напряжение на ней - p _n. Отметим, что проекции p _n на координатные оси р_nх, р_nу, р_nz не являются ни нормальными, ни касательными напряжениями. Исходя из геометрических соотношений, получим

. (4.2.4)

Считаем линейные размеры пирамиды бесконечно малыми; при этом объёмные силы, действующие на пирамиду, это бесконечно малые величины третьего порядка, и ими можно пренебречь, по сравнению с поверхностными силами, которые являются бесконечно малыми второго порядка. Имея это в виду, приравняем нулю сумму проекций на ось х всех поверхностных сил, действующих на пирамиду АВСМ:

. (4.2.5)

Подставляя (4.2.4) в (4.2.5) и сокращая на А_n, получаем проекцию вектора p _n на ось х

. (4.2.6)

Исходя из равенства нулю сумм проекций сил на координатные оси у и z, найдём две другие проекции p _n:

; (4.2.7)

. (4.2.8)

Тем самым определим вектор напряжений на грани АВС:

Дата добавления: 2014-12-26