Упругие тела

УПРУГОСТЬ И ИЗГИБ

Как уже отмечалось выше, при деформациях возникают внутренние напряжения, силы которых, в общем случае, зависят не только от деформаций, но и от скоростей, с которыми эти деформации происходят. В этом легко убедиться, если взять полимерное вещество, которое при обычных условиях медленно растекается подобно замазке, принимая форму сосуда, в котором оно находится. Можно без особых усилий изменить его форму, если делать это медленно. Если вылепить шарик, то легко обнаружить, что такой шарик обладает хорошими упругими свойствами, подскакивая практически после удара об пол на ту же высоту, с которой он был брошен без начальной скорости. Этот опыт показывает, что силы деформации, подобно силам вязкого трения, возрастают по мере увеличения скорости деформации. В ряде практически важных случаев силы напряжения определяются только деформациями. Такие тела, в которых это имеет место, называются абсолютно упругими телами, или упругими телами. Замечательным свойством таких тел является способность полностью восстанавливать свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу. Рассмотрим, например, растяжение (или сжатие) стержня (рис. 4.4) с силой F, приложенной перпендикулярно к торцевой грани с площадью сечения S. Опыт показывает, что при последовательном возрастании нагрузки вначале деформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке, т.е.

. (5.1.1)

Величина называется нормальным напряжением в торцевом сечении стержня. Пропорциональность деформаций e соответствующим напряжениям выражает закон Гука. Коэффициент пропорциональности c называется коэффициентом удлинения и для каждого материала определяется опытным путем. Так как численные значения e гораздо меньше e, то c - весьма малая величина. Поэтому обычно вводят модуль упругости (модуль Юнга)Е = c^-1, и закон Гука окончательно записывают в виде

Рис.5.1. Диаграмма растяжения

. (5.1.2)

Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. Если растягивать стержень, последовательно увеличивая от нуля возрастающую силу, то каждый раз, после снятия нагрузки, деформация исчезает. При некотором напряжении s ³ s _у появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение s _y называется пределом упругости. На (рис.5.1) изображена зависимость деформаций от напряжений, называемая диаграммой растяжений. Следует отметить, что закон Гука выполняется только в части области упругости - области пропорциональности, когда .

  Рис.5.2. Образование шейки

При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. внезапный рост удлинения образца при постоянной нагрузке s_т, называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождается увеличением s. Деформации будут распределены уже неодинаково по длине стержня (рис. 5.2) - в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряжении s_м, называемом пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв.

То напряжение, которое данный материал может выдержать на практике, не разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допустимым и обозначают [s]. Обычно [s] < s_п, и все расчеты проводят на основе законов Гука. Чтобы обеспечить прочность при всех обстоятельствах допустимое напряжение выбирается как часть предела прочности, в частности, для металлов [s] = 0.2s_м, а для дерева[s] = 0.1s_м. Следует отметить, что наибольшие деформации, которые может выдержать материал, не определяются протяженностью области текучести. Если область текучести велика, то материал называется пластичным. Такой материал, как например сталь, способен выдерживать большие нагрузки без разрушения. Наоборот, если область текучести невелика, то этот материал хрупок. Хрупкие материалы, как чугун например, разрушаются при деформациях e ³ e_п. В ряде случаев пластичные материалы могут разрушаться и при малых деформациях e» e_п (например, сталь при температуре ниже - 45°С). Аналогичными свойствами обладают и сдвиговые деформации. В частности, в области пропорциональности связь между деформациями сдвига и касательным напряжением (рис.4.9) задается соотношением

, (5.1.3)

в котором - касательное напряжение, аналогичное по смыслу введенному выше нормальному напряжению, а G - модуль сдвига, являющийся, как и модуль Юнга, также характеристикой материала.

Таблица 5.1

Характеристики упругости и прочности некоторых материалов

Материал	Модуль упругости E	Модуль сдвига G	Предел пропорциональности sП	Предел текучести sТ	Предел прочности при растяжении sМ
Сварочная сталь			1,3...1,6	1,8...2,6	3,3...4,0
Пружинная сталь незакаленная			5,0 и выше	-	до 10 и выше
Пружинная сталь закаленная			8,5 и выше	-	до 17
Медь	1100...1300	415...440	-	0,7
Серый чугун	750...1050	290...400	-	-	1,2...2,4
Свинец	140...180	55...80	-	0,05	0,14...0,18

Из этой таблицы можно сделать два важных вывода. Во-первых, поскольку предел пропорциональности s_п на 2 - 3 порядка меньше модуля упругости, то в области упругости деформации e_у < 10^-3 ¸10^-2.

Во-вторых, просматривается связь между величиной модуля Юнга E и модуля сдвига G - чем больше E, тем больше и G. Это не случайно, т.к. между обеими величинами существует жесткая связь. Чтобы ее установить, рассмотрим растяжение маленького кубика с длиной стороны , как это было изображено на рис. 5.3.

Рис.5.3. Растяжение кубика (связь между модулем Юнга и модулем сдвига)

Обратим внимание на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда, находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформациях в ромбическую грань A'B'C'D'. Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменился (см. также формулу (5.1.17)).

Величину угла сдвига a можно легко связать с деформацией удлинения и коэффициентом Пуассона . Из треугольника A'OD' следует, что

. (5.1.4)

Поскольку b << 1, то

. (5.1.5)

Приравнивая правые части (5.1.4) и (5.1.5), находим

. (5.1.6)

Рис. 5.4. Взаимосвязь сил и напряжений, действующих на грани кубика

Сила F, растягивающая кубик (рис. 5.4), создает нормальное напряжение . Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, но силы, действующие на каждую из его граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани параллельную составляющую F_т. Касательное напряжение оказывается при этом равным

. (5.1.7)

Поскольку деформации e в формуле (5.1.6) пропорциональны напряжениям, a s = 2s_т, то

. (5.1.8)

Сравнивая последнее равенство с соотношением (5.1.3), при учете, что, , находим искомую связь между модулями Юнга и сдвига:

. (5.1.9)

В рассмотренном примере следует обратить внимание на то, что величина и направление силы, приложенной к некоторой площадке, зависит от ориентации и величины этой площадки. Так, на грань куба действует сила F, перпендикулярная к грани, в то время как на грань параллелепипеда действует сила F /2, направленная под углом 45°к этой грани. Этот частный вывод получит далее обобщение при обсуждении способов задания сил, действующих на каждый из элементов тела.

Посмотрим, что будет происходить с тем же кубиком, если его растягивать одновременно силами, приложенными ко всем его граням.

В этом случае относительные удлинения каждой из его сторон будут задаваться соотношениями:

(5.1.10)

Формулы (5.1.10) описывают деформации кубика при его всестороннем растяжении или сжатии. Если напряжения одинаковы, (s₁ = s₂ = s₃ = s), то деформации также будут одинаковы: (e₁ = e₂ = e₃ = e) и . В результате всесторонней деформации новый объем кубика станет равным , а его относительное изменение составит величину

. (5.1.11)

Параметр

(5.1.12)

называется модулем всестороннего сжатия и играет важную роль в теории упругости. Важно отметить, что хрупкие материалы, подвергнутые всестороннему давлению, на которое дополнительно накладывается растяжение, сжатие или сдвиг, обнаруживают значительные пластические деформации. Такие деформации играют существенную роль, например, в процессах образования рельефа земной коры: граниты и базальты, хрупкие в обычных условиях, текут под действием колоссального давления в глубинных слоях Земли. Деформации растяжения и сдвига возникают в практически важных случаях изгибов балок строительных конструкций и окруживания валов машин и механизмов.

5.2. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТВЁРДЫХ СРЕДАХ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГЕОДИНАМИКИ

Под действием силы тяжести давление в недрах Земли растёт с глубиной. Давление увеличивается потому, что породы, находящиеся на данной глубине, должны держать на себе все вышележащие слои, вес которых нарастает с глубиной.

При этом из-за наличия горизонтальных неоднородностей силы тяжести в недрах Земли состояние статического равновесия среды с вертикальным градиентом давления оказывается невозможным.

Горизонтальные неоднородности силы тяжести, в свою очередь, обусловлены неоднородностями плотности, возникающими из-за горизонтальных градиентов температуры. Последние неизбежно появляются при радиогенном нагреве мантийных и коровых пород.

Горизонтальные неоднородности силы тяжести порождают горизонтальные градиенты напряжений, которые приводят к относительным движениям, происходящим в тектонике плит.

Напряжения - это силы, приходящиеся на единичную площадь и распространяющиеся через среду благодаря межатомным взаимодействиям. Напряжения, которые передаются перпендикулярно к поверхности, называются нормальными. Напряжения, которые распространяются параллельно поверхности, называются сдвиговыми. Давление - это среднее значение нормальных напряжений. Напряжение, действующее в упругой твёрдой среде, приводит к деформации среды. Простейшим примером деформации является сокращение объёма, происходящее благодаря сжимаемости среды под действием приложенного давления. Нормальная деформация определяется как приращение длины твёрдого тела к исходной длине. Сдвиговая деформация определяется как половина уменьшения прямого угла, выделенного в среде при деформации. В результате тектонических процессов поверхность Земли непрерывно деформируется.

Массовые (объёмные) и поверхностные силы. Имеется два типа сил, действующих на элемент твёрдой среды: массовые (объёмные) и поверхностные. Массовые силы действуют в каждой точке объёма среды. Величина массовой силы, действующей на элемент среды, пропорциональна его объёму или массе. Например, сила тяжести - вес элемента среды, равный произведению массы на ускорение силы тяжести g. Если ввести плотность среды r, равную массе единицы объёма, то действующую на элемент силу тяжести можно записать как произведение величины rg на объём элемента. Таким образом, сила тяжести, действующая на единицу массы, есть g, а сила тяжести, действующая на единицу объёма - rg. Плотность зависит от давления. При высоких давлениях, господствующих на больших глубинах в мантии, увеличение плотности пород может составить до 50% значения плотности при нулевом давлении.

Таблица 5.2

Мантийная порода	Плотность мантийной породы, кг/м^3
Типичная
Базальт и габбро
Гранит и диорит	2650 - 2800

В отличие от массовых сил, поверхностные силы приложены только к поверхности, ограничивающей элемент объёма. Они обусловлены межатомными силами, действующими со стороны материала, находящегося с одной стороны от поверхности, на материал, находящийся с противоположной стороны. Величина поверхностной силы прямо пропорциональна площади поверхности, на которую она действует. Кроме того, эта сила зависит от ориентации поверхности.

Пример: Рассмотрим силу, приложенную к основанию столба породы на глубине у от поверхности Земли и уравновешивающую вес столба.

Площадь поперечного сечения равна dA. Вес столба с площадью поперечного сечения dA равен rgydA. Поверхностная сила, уравновешивающая этот столб, s_ууdА направлена вверх и распределена по горизонтальной поверхности площадью dA на глубине у.

Рис. 5.5. Массовая и поверхностная силы, действующие на вертикальный столб породы

Допущения: на боковые поверхности не действует никаких вертикальных сил и плотность r постоянна.

Таким образом, s_уу есть сила, приходящаяся на единицу площади и направленная перпендикулярно горизонтальной поверхности, т.е. напряжение.

Поскольку силы, действующие на равновесный столб породы, должны быть равны, получаем, что

s_уу = rgy. (5.2.1)

Сила, приходящаяся на единичную площадь и перпендикулярная горизонтальным плоскостям, линейно растёт с глубиной.

Нормальное напряжение, вызванное весом вышележащих пород, называется литостатическим напряжением или давлением.

Например, литостатическое напряжение в основании континентальной коры при её средней плотности 2750 кг/м³ и толщине коры 35км (3.5 ×10⁴ м) будет равно: s_уу = 2750 кг/м³×10 м/с²×3.5×10⁴м = 9.625 ×10⁸Па = 962.5 МПа (9.625 кбар).

Рис.5.6. Континентальный блок, "плавающий" на "жидкой" мантии

В системе СИ единицей давления или напряжения является паскаль (Па); 1 Па = 1 кг×/м×с²;. 1 мегапаскаль МПа = 10⁶ Па; 1 бар = 10⁵ Па = 0.98692 атм.

Поскольку плотность жидкой мантии (3300 кг/м³ ) больше плотности пород континента (2750 кг/м³), то можно считать, что континент является блоком, плавающим в мантии.

Согласно закону Архимеда, выталкивающая сила, действующая на континент, равна весу вытесненной мантийной породы. В основании континента напряжение s_уу = r_кgh, где r_к - плотность континентальных пород, h - толщина континента. На этой же глубине в мантии напряжение составит s_уу = r_мgb, где r_м - плотность мантии, b - глубина погружения континента в мантию.

С другой стороны, согласно гидростатическому равновесию эти два напряжения должны быть равны

r_кgh = r_мgb, т.е. r_кh = r_мb. (5.2.2)

Применительно к континентальной коре принцип гидростатического равновесия называется принципом изостазии.

Откуда можно определить:

1. Возвышение континента над окружающей мантией

h - b = h - r_к/r_мh = h (1-r_к/r_м). (5.2.3)

2. Глубину океанического бассейна относительно поверхности континента

, (5.2.4)

где h_кк, r_кк - толщина и плотность континентальной коры; h_в - глубина океана; r_в - плотность воды; h_ок - толщина океанической коры; r_ок - плотность океанической коры; r_м - плотность мантии.

Дата добавления: 2014-12-26