Примеры решения логарифмических уравнений

1. log (x - 3x + 6) = 2

По определению логарифма, x - 3x + 6 = x , из чего следует, что x = 2.

Проверка: log (x - 3x + 6) = log (2 - 6 + 6) = 2

Ответ: x = 2

2. log (3x + 4) = log (5x + 8)

Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма, получаем 3x + 4 = 5x + 8, откуда x = -2.

Выполняя проверку, убеждаемся, что при x = -2 левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.

Ответ: корней нет.

3. log (х + 1) + log (х + 3) = 3 (1).

По свойствам логарифма получаем равенство log (х + 1)(х + 3) = 3 (2).

По определению логарифма из этого равенства получаем:

(х + 1)(х + 3) = 8, откуда х + 4х + 3 = 8, т.е. х + 4х – 5 = 0.

Последнее равенство верно, если х = 1 или х = -5. Проверим, являются ли полученные числа корнями уравнения (1). Подставляем х = 1 в левую часть данного уравнения и получаем log (1 + 1) + log (1 + 3) = log 2 + log 4 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 – корень уравнения (1).

При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения (1) смысла не имеет, то есть х = -5 не является корнем рассматриваемого уравнения.

Ответ: х = 1.

4. log (1 – х) = 3 – log (3 – х).

1) Перенесем логарифм из правой части в левую: log (1 – х) + log (3 – х) = 3, откуда log (1 – х)(3 – х) = 3 → (1 – х)(3 – х) = 8.

2) Решим полученное уравнение. Получим х = 5, х= -1.

3) Проведем проверку корней уравнения. Число х = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при х = 5 теряют смысл левая и правая части уравнения. Число х = -1 является корнем исходного уравнения.

Ответ: х = -1.

Дата добавления: 2014-12-26