Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису

Проекция вектора на ось. Свойства проекций.

Осью называется прямая, на которой задано направление.

Углом между и называется наименьший угол , на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором.

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка , заключенного между ортогональными проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком "+", если направление от до совпадает с направлением оси, и со знаком "-" в противном случае.

Из геометрических соображений следует, что проекция вектора на ось равна:

Некоторые свойства проекций

1.

2.

Линейная зависимость векторов.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно a_i, т.е. .

Если же только при a_i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Определение. Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами в заданном базисе сводятся к аналогичным линейным операциям над числами – координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

На практике удобно использовать единичные базисные векторы, лежащие на взаимно перпендикулярных осях: .

Формула выражает разложение вектора по базисным векторам .

Дата добавления: 2014-12-26