Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Вектор называется параллельным прямой , если либо он нулевой, либо прямая .

Вектор называется параллельным плоскости , если либо он нулевой, либо прямая .

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов называется такой новый вектор, который замыкает ломаную, построенную из данных векторов так, чтобы начало каждого последующего совпадало с концом предыдущего.

Суммой векторов является вектор -

Вектор разности направлен в сторону уменьшаемого вектора.

Замыкающий вектор направлен из начала первого вектора в конец последнего.

Произведением числа на вектор называется такой новый вектор, который сонаправлен с данным вектором, если число положительное, противоположно направлен, если число отрицательно, и равен нулю, если число равно 0.

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

8) 1× =

Дата добавления: 2014-12-26