Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение

Метод Гаусса.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

, где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

3 вывода: 1. решение одно

2. система несовместна

3. решений бесчисленное множество

Однородные системы линейных уравнений

Если правая часть каждого уравнения в системе линейных уравнений нулевая, то система называется однородной.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение. Это решение называется тривиальным. Поэтому возникает вопрос о существовании нетривиальных решений в однородной системе. Ответом служит следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы однородная система имела нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных.

Следствие. Однородная система с матрицей имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен 0.

Некоторые свойства решений однородных систем:

· Если набор неизвестных – решение однородной системы, то коэффициент любой также является решением.

· Если и какие-то решения однородной системы, то + - также является решением этой системы.

Принципиально однородная система уравнений может:

1. решений не иметь вообще

2. иметь единственное решение, которое найдено по формуле Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы

3. иметь бесчисленное множество решений.

Дата добавления: 2014-12-26