Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений и их решение





Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Метод Гаусса.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

 

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

3 вывода: 1. решение одно

2. система несовместна

3. решений бесчисленное множество

Однородные системы линейных уравнений

Если правая часть каждого уравнения в системе линейных уравнений нулевая, то система называется однородной.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение. Это решение называется тривиальным. Поэтому возникает вопрос о существовании нетривиальных решений в однородной системе. Ответом служит следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы однородная система имела нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных.

Следствие. Однородная система с матрицей имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен 0.

Некоторые свойства решений однородных систем:

· Если набор неизвестных – решение однородной системы, то коэффициент любой также является решением.

· Если и какие-то решения однородной системы, то + - также является решением этой системы.

Принципиально однородная система уравнений может:

1. решений не иметь вообще

2. иметь единственное решение, которое найдено по формуле Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы

3. иметь бесчисленное множество решений.

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 846; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.