Корреляционно-регрессионный анализ

Измерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений, что осуществляется на основе корреляционного анализа

Задача корреляционного анализа - количественное определение наличия и тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции, что позволяет выявлять факторы при построении уравнения множественной регрессии.

Корреляция (со­отношение, соответствие) — взаимосвязь между признаками, состоящая в измене­нии средней величины одного из них в зави­симости от значения другого.

Связи между процессами и признаками классифицируются по степени тесноты, направлению и аналитическому выражению.

По степени тесноты связи различают слабый, средний, высокий характер связи (табл.).

По направлению выделяют связь прямую и обратную.

Прямая связь - с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) значений результативного (рост стажа ведет к росту производительности труда)

Корреляция положительная (прямая) — взаимосвязь между призна­ками, при которой средняя величина при­знака у возрастает с возрастанием х. При положительной корреляции значение линейного коэффициен­та. корреляции положительное, что и указывает на прямую связь между изу­чаемыми величинами х и у.

Обратная связь - с увеличением (уменьшением) значе­ний факторного признака происходит уменьшение (увеличение) результативного значения признака (рост производительности труда ведет к снижению себестоимости продукции).

Корреляция отрицательная (обратная) — взаимосвязь между признаками, выражаю­щаяся в том, что средняя величина одного признака уменьшается с возрастанием дру­гого. При корреляции отрицательной значение линейного коэф­фициента корреляции отрицательное, что и указывает на обратную связь между изучаемыми величинами х и у.

По аналитическому выражению выделяют связи:

линейная — корреляционная зави­симость между двумя коррелирующими признаками х и у, носит линейный характер (уравнение прямой: у = а₀ + а₁х (равномерное нарастание результативного признака с увеличением факториального признака).

Линейная корреляция имеет наи­большее применение, т.к. многие практические зависи­мости прибли­жаются к линейным.

нелинейная (криволинейная) - связь между процессами выражена уравнением параболы, гиперболы, показательная функция и др.

При линейной зависимости между факториальными и результативными признаками для определения связи определяется парный (линейный) коэффициент корреляции (r), при криволинейной зависимости - корреляционное отношение (η).

Принято различать следующие виды корреляции:

1. Парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным, или двумя факторными).

2. Частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

3. Множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков.

Оценка связи социально-экономических процессов

Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторных. Данная задача решается на основе совокупности эмпирических методов определения тесноты связи и корреляционного анализа.

Эмпирические меры определения тесноты связи

Интенсивность связи между количественными признаками, форма которых отличается от нормальной, и между качественными признаками можно осуществить на основе эмпирических методов измерения тесноты связи В основу данных методов положен принцип нумерации вариант статистического ряда, их ранжирование и сопоставления рангов факторного и результативного признаков.

Коэффициент корреляции рангов

Данный коэффициент используется для определения тесноты связи между взаимосвязанными признаками.

Определение рангового коэффициента корреляции осуществляется следующим образом:

1. Значение факториального признака ранжируется (записывается в возрастающем или убывающем порядке) и соответственно записываются значения результативного признака.

2. Определяются ранги (номер факториального и результативного показателей) ранжированных показателей.

Если значения факториального показателя по ряду объектов одинаковы, то их ранг также будет одинаков и равняться частному от деления суммы занимаемых мест в ранжированном ряду.

3.. Результаты п.п. 1 и 2 записываются по следующей форме:

Фактори- альный по- казатель X

Результа- тивный по- казатель У

Ранг факто- риального показателя Rx

Ранг резуль- тативного показателя Ry

d=Rx - Ry

d2

4.Расчет коэффициента корреляции рангов осуществляется по формуле:

6 Σ d2

ρ = 1 - --------

n (n2 - 1)

Если связь между признаками полная, прямая, то ранги по обоим признакам совпадают и ρ = 1.

Если связь полная, обратная, то ρ = - 1

Если связи нет, то ρ = 0.

Коэффициент корреляции знаков (коэффициент Фехнера) - основан на применении отклонений взаимосвязанных признаков от средней величины. По каждому признаку сравниваем знаки отклонений по одному и другому признакам. Совпадение знаков отклонений обозначается - а, несовпадение - в.

å а - å в u + v

i = ------------ = -------

å а + å в u - v

где u - число пар с одинаковыми знаками отклонений х и у соответственно от х (среднее) и у (среднее).

v - число пар с разными знаками отклонений х и у соответственно от х (среднее) и у (среднее).

Чем ближе коэффициент к 1, тем теснее связь.

Корреляционный анализ

Задача корреляционного анализа заключается в определени наличия и степени влияния факторов на результат;

Данная задача решается на основе расчета показателей меры тесноты связи (эмпирические, коэффициент корреляции, корреляционное отношение).

Предварительно следует выявить качественную связь составляющих изучаемого процесса на основе выявления наличия (отсутствия) связи, ее характера и направления. Для данной цели осуществляют:

1 - сопоставление динамических рядов значений результативного и факториального признаков (фондовооруженность - производительность труда, стаж - производительность труда, удобрения - урожайность сельскохозяйственных культур). Сопоставление динамических рядов статистических величин позволяет установить наличие (отсутствие) связи и получить представление о ее характере.

2 - построение корреляционного поля (графический метод)

Графически взаимосвязь двух признаков - изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, на оси ординат - результативного признака. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между признаками, тем плотнее будут группироваться точки вокруг линии, выражающей форму связи.

Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то предполагают наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками (или криволинейная корреляционная связь).

3- с помощью корреляционной решетки, построенной в прямоугольных осях координат. Дугообразное распределение частот в решетке характеризует криволинейную связь, беспорядочное — отсутствие связи. Высокая связь обнаруживается при распределении частот ближе к диагонали. Если час­тоты группируются близко к диагонали, которая пересекает решетку с левого нижнего в правый верхний угол. коэффициент корреляции будет иметь знак плюс, с верхнего левого в правый нижний — минус.

На этой основе можно обоснованно количественно подтвердить наличие (отсутствие) связи и определить ее силу.

При линейной корреляции характер связи определяется по формуле r.

n å x y - åx å y

r = -------------------------------------

(n åx2 - (åx)2) (n åy2 - (åy)2)

Корреляция множественная (совокупная) — взаимосвязь между несколькими призна­ками (более двух).

Коэффициент линейной корреляции - отображает направление и меру тесноты связи между признаками при прямо­линейных (или близких к ним) взаимозависимостях.(табл.8).

Таблица 8. Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента линейной корреляции	Характер связи
до ± 0,15	связи нет
± 0.15 - ± 0,30	Слабая
± 0,30 - ± 0,50	Средняя
± 0,50 - ± 0,70	Высокая
± 0,70 - ± 0,95	Сильная
± 0,95 - ± 1,00	Функциональная

Коэффициент корреляции колеблется в пределах от -1 до + 1, если имеет знак «-», то связь обратная между изучаемыми признаками (урожайность - себестоимость), если «+» - связь прямая (удобрения - урожайность).

Интерпретация значений коэффициента корреляции представлена в таблице 2.5.

Таблица 2.5 - Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента корреляции (статистическая связь)	Характеристика связи	Интерпретация связи
г = 0	отсутствует	-
0<г<1	прямая	с увеличением увеличивается
-1<г<0	обратная	с увеличением х уменьшается у и наоборот
r =1	функциональная	каждому значению факторного признака строго соответствуют одно значение результативною признака

Наличие корреляционной зависимости не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а оценивает степень согласованности изменяемых признаков. Возможен вариант, при котором величина коэффициента корреляции большая, а связи между изучаемыми величинами нет - ложная корреляция, т.е. наличие статистической связи между показателями при отсутствии функциональной (логической) связи между ними. Установление причинно-следственной зависимости основывается на анализе качественной природы явлений. Возможен вариант, когда коэффициент корреляции показывает, что статистической связи между фактором и результатом нет, но вызнаете, исходя из теории, сущности процесса, экономическая (технологическая) связь есть. В этом случае следует проверить информации, форму связи.

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ - определение аналитического выражения связи, в котором изменение зависимой (результативный признак), обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).

Содержание корреляционно-регрессионного анализа

Установление причинной связи между изучаемыми признаками

Отбор наиболее существенных признаков и установление формы связи (формирование корреляционной модели)

Парная корреляция

Множественная корреляция

Линейная

Криволинейная

Линейная

Криволинейная

Определение параметров связи (коэффициенты корреляции и регрессии

Статистическая оценка показателей связи

Экономическая интерпретация результатов

Социально-экономические процессы представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. При изучении экономических процессов необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных.

В основе первого этапа экономико-статистического изучения связи лежит качественный анализ содержания социально-экономического процесса.

Второй этап - построение модели связи на основе статистических методов.

Третий этап -социально-экономическая интерпретация результатов.

Регрессия — функция, позволяющая по величине одного корреляционно свя­занного признака вычислять средние ве­личины другого признака. Если между х и у существует корреляционная зависи­мость и эту зависимость можно отобразить в виде корреля­ционного уравнения, где по х находят соответствующие средние величины у, то говорят, что определяется регрессия х на y.

Этапы проведения регрессионного анализа

Первый этап. Постановка задачи. Очень важный этап во многом определяющий содержание последующих этапов исследования. Формулируется задача и исходя из ее сущности на основе анализа отраслевых причинно-следственных связей между исследуемыми показателями определяются наиболее значимые факторы, какая информация известна, какая не известна.

Отбор факторных признаков может быть осуществлен на основе

многошагового регрессионного анализа. Сущность метода заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости, которая определяется, на сколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции (R)

Второй этап. Сбор информации для решения задачи

Статистически оценивается информация по каждому факторному и результативному показателям (достоверность, однородность, соответствие закону нормального распределения):

• проверяется достоверность информации, ее соот­ветствие объективной действительности (качественный анализ);

• однородность исследуемой информации определяется на основе коэффициента вариации: если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность информации неоднородна - следует исключить резко выделяющиеся (аномальные) наблюдения;

• наличие определенного количественного соотношения между результативным и факторными показателями;

• проверяется требование к исходной информации- подчинение законам нормального распределения: если коэффициенты ассимметрии и эксцесса меньше 3-х кратных своих ошибок, то распределение показателей принимается нормальным.

Третий этап: Моделирование связи результативного и факторных показателей (уравнения парной и множествен­ной регрессии).

При прямолинейной форме они имеют следующий вид:

• уравнение парной регрессии: y = а0 + a1х,

• уравнение множественной регрессии: y = а0 + a1x1 + a2x2..+..an xn

где а0— свободный член уравнения;

х1,х2,...,хn - факторные показатели;

a1, a2, …, an - коэффициенты регрессии, характеризующие изменение результативного показателя при изменении факторного на единицу.

Если связь между результативным и факторными показателями является криволинейный, то используются параболическая, гиперболиче­ская, степенная и другие функции.

При этом в линейную модель не рекомендуется включать факторы, связь которых с результативным показателем является криволинейной;

• не рекомендуется включать в корреляционную модель взаимосвязанные факторы. Если парный коэффициент корреляции меж­ду 2 факторами больше 0,80 (дублируют друг друга), то один из них исключается на основании качественного анализа изучаемого процесса.

• нельзя включать в корреляционную модель факторы, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер (цена – прибыль)

Четвертый этап: Определение параметров модели. Расчет основных показателей регрессионного анализа- параметры уравнения связи, коэффици­енты корреляции, детерминации, эластичности и др.

Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных, полученных по уравнению регрессии.

В уравнениии регрессии параметр а 0показывает усредненное влияние на результативный признак (у) неучтенных в уравнении факторных признаков; коэффициент регрессии а 1 показывает, на сколько изменяется значение результативного признака при увеличении факторного (х) на единицу.

Пятый этап: Статистико –экономическая оценка и использо­вание результатов регрессионного анализа.

Статистическая оценка модели регрессионного анализа осуществляется на основе:

• значимость отдельного фактора в модели определяется на основе критерия Стьюдента (t), Если расчетное значение t больше табличного, то значение t (коэффициента корреляции) значимо.

• правильность выбора вида взаимосвязи и значимость уравнения регрессии в целом определяют на основе критерия Фишера (F), расчетная величина которого сравнивается с табличным значением. Если расчетная величина превышает табличное, то уравнение регрессии значимо

• степень связи совокупности факторов и результативного показателя можно определить на основе коэффициента множественной корреляции (R), который изменяется от 0 до 1;

• для определения доли вариации результативного показателя обусловленной измененим (колеблемостью) факторных показателей используется множественный оэффициент детермина­ции (R2)).

Влияние определенного фактора на прирост результативного показателя рассчитывается по формуле:

∆У = ai. х ∆хi.

Экономическая интерпретация результатов корреляционно-регрессионного анализа, принятие практических решений.

Социально-экономическая интерпретация моделей регрессии осуществляется на основе знания отрасли, к которой относится исследуемое явление.

Сначала осуществляется оценка уравнения регрессии в целом и входящих в модель факторных признаков.

Знаки коэффициентов регрессии характеризуют направленность влияния факторов на результативный признак: если факторный показатель имеет знак плюс, то с увеличением фактора результативный показатель возрастает на величину коэффициента регрессии; если факторный показатель имеет знак минус, то с его увеличением результа­тивный показатель уменьшается.

Если экономическая теория указывает, что связь между фактором и результативным показателем положительна, а по решению она отрицательна, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии.

Экономические характеристики производственных функций

К экономическим характеристикам производственных функций относят:

дополнительные продукты факторов (предельные произ­водительности);

частный коэффициенты эластичности;

средняя производительность ресурса;

Дополнительный продукт фактора — прирост продукции {у) за счет увеличения определенного фактора (х) на единицу при неизменной величине других факторов.

Для парной линейной зависимости дополнительный продукт фактора равен коэффициенту регрессии. Многофакторной модели, ее приводят к двухфакторной на основе фиксации остальных факторов на средней величине

Частный коэффициент эластичности - характеризует соотношение темпов прироста продукции (у) и фактора (х), показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результат (у) при изменении конкретного фактора на 1 % (при неизменной величине других факторов), определяется по формуле:

xi

Э xi = ai -----

y

где хi – среднее значение i факторного показателя;

у – среднее значение результативного показателя;

аi – коэффициент регрессии i фактора.

Средняя производительность ресурса (y: x) показывает темпы изменения результата производства от фактора производства. Для парной линейной зависимости (у = а₀ + а₁ х) «а₀» характеризует постоянные произ­водственные затраты, (не зависят от объема производства), а а₁х - переменную часть затрат (зависят от объема производства).

Средняя производительность ресурса представляет себестоимость производимой продукции. При положительных параметрах уравнения средняя производи­тельность ресурса (средняя себестоимость продукции) убывает при росте производства, что означает снижение себестоимости продукции за счет уменьшения доли постоянных затрат.

Задача. На предприятии, используя методы стохастического анализа, осуществлен анализ взаимосвязи стажа и оплаты труда. Исследуя графически с помощью поля корреляции форму рассматриваемой зависимости, определили вид связи - линейная.

Для выборки (24 рабочих) имеется следующее распределение заработной платы рабочих в зависимости от стажа работы:

Номер рабочего (n)	Стаж работы, лет X	Оплата труда, тыс. руб./чел. y	xy	x2	y2
	9 •
Итого

n å x y - åx å y

r = -------------------------------------

(n åx2 - (åx)2) (n åy2 - (åy)2)

r = (24 х 3366 - 140 х 515): (24 х 976 - 140. 2)х (24 х 11883 - 515. 2)

= (80 784 – 72 100): (285 192 – 265 225) = 8 684: 19 997 = 0,434

Таким образом. связь между стажем работы и оплатой труда средняя.

Для определения количественной взаимосвязи стажа и оплаты труда построим линейное уравнения регрессии

у = а₀ + а_1Х

где х – стаж работы, лет

у - оплата труда, тыс. руб./чел

а₀ – свободный член

Для определения коэффициентов а₀ и а₁ необходимо решить систему уравнений

п а₀+а₁åх = åу

а₀ åх + а₁åх2 = å ху

24 а₀+140 а₁ = 515

140 а₀ +976 а₁ = 3366

а₀ + 5,833 а₁ = 21,458

а₀ +6,971 а₁ = 24,043

а₀ + 5,833 а₁ = 21,458

1,138 а₁ = 2,585

а₁ = 2,272

а₀ = 21,458 - (5,833*2,272) = 8,205

у = 8,205 + 2,272 х

Таким образом. с ростом стажа на 1 год заработная плата в среднем для данной совокупности рабочих повышается на 2272 руб.

Дата добавления: 2014-12-27